BSR xelux_man !!
Tu avais à peu près tout mais .........
Si u est un endomorphisme de E et si Sp(u)={r1,r2, ..... ,rp} est son Spectre
On sait que :
u diagonalisable ssi E est SOMME DIRECTE des sous espaces propres E(i) ( associé à la valeur propre ri de u )
pour i=1,2, ... ,p
Comme u et v commutent, chaque E(i) est stable par v, et on peut donc définir l’endomorphisme
vi induit par v sur E(i).On sait que chaque vi est diagonalisable.
Donc on peut trouver une base Bi={e(i,1)),e(i,2) ..... e(i,si)} de E(i) qui soit une base de vecteurs propres
pour vi. Bien entendu , chaque e(i,k) est également vecteur propre de u pour ri.
Maintenant , si on rassemble les bases Bi obtenues pour chaque E(i), on obtient une base globale de E qui
est une base commune de vecteurs propres communs à u et v.
Par conséquent ,{B1 union B2....union Bp} est une base de diagonalisation commune pour u et v .
Amicalement . LHASSANE
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