Endomorphisme de rang 1

Soit f E L(E) de rang 1. Montrer qu'il existe un unique a E K tel que fof=af.
Montrer que : a=1 ssi id- f est non injective
ssi id - f est non surjective
(même en dimension infinie).

c est un nice exercice pour la premiere voila un sol:
on a f de rang 1 => existe b £K : f(x)=c(x)b.en particulier existe a£K:
f(b)=ab.
donc f(f(x))=f(c(x)b)=c(x)ab=af(x).and we are done.
NB:c(x) depend de x.
pour la 2 voici une indication: id-f bijective <=> a !=1

1- rang(f)=1 alors rang(fof)=<rangf) =<1

donc rang(fof)=0 ou 1
si rang(fof)=0 alors fof=of
si rang fof)=rang (f)=1 soit u; im(f)=Ku il existe a; f(u)=au
et pour tout x de E il existe b_x ; f(x)=b_x u
alors fof(x)=a(b_xu)=af(x)
donc fof =af.
2- si a=1 on a il existe v dans E; f(v)=u et v non nul.
or fof(v)=f(v)
alors Id(f(v) - f(f(v))=o et f(v) <>o donc Id-f non injective.
invercement si Id-f non injectif il existe u non nul ; f(u)=u et alors im(f)=Ku car ran(f)=1
pour tout x de E il existe b_x dans K ; f(x)=b_x*u
alors fof(x)=b_xf(u)=b_x*u=f(x)
donc fof=f et a=1
3- si dimE)> +oo ok si non ....je vai voir!!
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