Inégalité géométrique

Soit un triangle de côtés a, b et c. p est son semipérimètre et R le rayon de son cercle circonscrit.
Montrer que Rp/(2aR + bc) >= 2/5.
Il se trouve que l'on a également Rp/(2aR + bc) < 1/2, mais je n'en suis pas sûr et je n'ai pas réussi à démontrer celle-ci.

Montrer que abc >= 24sqrt(3)r^3 et en déduire que a+b+c >= 6sqrt(3)r.
r désigne le rayon du cercle inscrit de ce triangle.

Dijkschneier a écrit:

Montrer que abc >= 24sqrt(3)r^3 et en déduire que a+b+c >= 6sqrt(3)r.
r désigne le rayon du cercle inscrit de ce triangle.

L'inégalité à déduire n'est autre que l'inégalité de Mitrinovic : et qui est facile à démontrer (voir sur Théorèmes & Formules)
On a :


Ce qui est clairement vrai car et

Par contre si tu veux absolument déduire l'inégalité de Mitrinovic à partir de la première :
D'après AM-GM :

Oui King. Mais tu t'es bien douté que le but du problème est surtout de démontrer abc>=24sqrt(3)r^3.