Préparations aux olympiades de première (2010-2011)

Dijkschneier a écrit:

Problème 37 : (** : deux étoiles)
Montrer que pour tout entier naturel n, n'est jamais un nombre premier.
Attention, les puissances sont en étage.

Pour n=0, le nombre vaut 7, qui est bel et bien premier.
A toi de rectifier.
Je propose une réponse immédiatement, pour n entier non nul.

Dijkschneier a écrit:

Problème 37 : (** : deux étoiles)
Montrer que pour tout entier naturel n, n'est jamais un nombre premier.
Attention, les puissances sont en étage.

J'admet que tu veux dire n appartient à l'ensemble des entier non nuls.
Pour n=1, le nombre vaut 9.
Pour n=2, le nombre vaut 21.
Et ainsi de suite...
On peut conjecturer que ce nombre est divisible par 3.
Pour démontrer que n'est jamais un nombre premier.
Il suffit de démontrer que est divisible par 3 pour tout entier non nul.
Procédons par récurrence:
Pour n=1, le nombre vaut 9 qui est divisible par 3.
Supposons que la propriété est vraie pour le rang n et démontrons qu'elle l'est aussi au rang n+1.
Ainsi, il existe un k entier tel que .
Et prouvons l'existance d'un entier p, tel que .
On a .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Et en posant .
Il vient que .
Ainsi est divisible par 3 quelque soit n non nul.
Et par suite n'est jamais un nombre premier.
CQFD.

Problème 38:
Dans le triangle ABC, la hauteur, la bissectrice, et la mediane issues du sommet A divisent l'angle en quatres parties égales.
Déterminez les amplitudes des trois angles du triangle.
Bonne chance.
P.S: J'attends une confirmation sur ma réponse précédante.

nmo a écrit:

Problème 38:
Dans le triangle ABC, la hauteur, la bissectrice, et la mediane issues du sommet A divisent l'angle en quatres parties égales.
Déterminez les amplitudes des trois angles du triangle.
Bonne chance.
P.S: J'attends une confirmation sur ma réponse précédante.

Je propose la solution, et on passe à un nouvel exercice:
Considérons le cercle T circonscrit au triangle ABC.
La bissectrice [AE) de l'angle coupe le cercle circonscrit au triangle ABC au milieu I de l'arc BJC. La médiane [AM] comprend le milieu M de [BC].
I est le milieu de l'arc BJC et M est le milieu de la corde [BC] qui le sous tend. Dès lors IM est la médiatrice de cette corde [BC].
On sait que la droite (AD) est perpendiculaire à la droite (BC) (la hauteur) et la droite (IM) est perpendiculaire à la droite (BC) (la mediatrice) donc la droite (AD) est parallèle à la droite (MI). Les angles et sont isométriques (alternes internes formés par des parallèles).
Or les deux angles et sont de même amplitude (l'hypothèse). Donc les angles et sont de même amplitude.
Le triangle AMI est donc un triangle isocèle de sommet principal M et on a AM=MI. Le point M appartient donc à la médiatrice de [AI].
Le point M est commun aux médiatrices des cordes non parallèles [BC] et [AI] du cercle T. M est donc le centre de ce cercle et l'angle est donc un angle de 90° (inscrit dans un demi cercle). Le triangle CMA est aussi un triangle isocèle puisque MA=MC (rayons).
Dès lors, les angles et ont même mesure qui vaut 90°/4 soit 22.5°.
Et l'angle a pour mesure 90°-22.5° soit 67.5°.
P.S: cette solution, ainsi que le problème figure dans une revue belge nommée "losanges".

Exercice 39:
Soit x, y, et z trois réels strictement supérieurs à 1, tel que .
Démontrez que .
Exercice 40:
Soit s et t les racines de l'équation .
Démontrez que .
Bonne chance.

M.Marjani a écrit:

Solution 36:

Bienvu : 0=<1-y=<1 <=> 0=<y=<1 (A). Donc P(x,y): f(x+y)>=f(x)+f(y) => P(1-y,y): 1>=f(y)+f(1-y) (C).
Selon (C): f(x)=<1-f(1-x). On suppose que f(x)>2x (1) , donc 2x<f(x)=<1-f(1-x) donc f(1-x)<1-2x
On pose 1-x=X avec X£[0,1] selon (A), donc f(x)<1-2(1-x) ==> f(x)<2x-1 ==> contradiction avec notre supposition (1). D'ou f(x)=<2x.
Réciproquement: 2(x+y)>=f(x+y)>=f(x)+f(y). Or 2(x+y)=2x+2y>=f(x)+f(y) ce qui est juste.

CQFD.

Dijkschneier a écrit:

Tu as f(x)>2x et f(x)<2x-1, mais il n'y a pas de contradiction, puisque ce n'est pas le même x...
J'ai l'impression que tu cherches à rendre correcte une démonstration qui ne l'est pas...

Il s'agit d'une question de fonctions non pas de variables. Les variables que j'ai utilisé sont du méme intervalle [0,1] J'ai l'impression que ma derniére solution est juste sauf autre faute.

Solution 39:

Spoiler:

Solution 40:

Spoiler:

svp j'ai pas bien compris M.marjani est ce -1/2a² ou 1/2a² ? car au premier t'as fait - et apres tas fait + . svp peut etre c'est ma faute mais j'espere bien y savoir!! et merci

yasserito a écrit:

svp j'ai pas bien compris M.marjani est ce -1/2a² ou 1/2a² ? car au premier t'as fait - et apres tas fait + . svp peut etre c'est ma faute mais j'espere bien y savoir!! et merci

Qu'une faute de frappe editée. : )
J'attend nmo pour proposer.

M.Marjani a écrit:

Solution 40:
On a s et t les raçines de l'equation
alors
Alors . On sait que:

et d'aprés IAG:
D'ou le résultat.

Je pense que tu as commis une faute en voulant simplifier, le signe négatif doit être positif.
En effet, on a .
Cependant, le résultat est correct.
Pour l'autre exercice, il est correct.
Et je vais proposer une solution alternative, sans changement de variable.

nmo a écrit:

Exercice 39:
Soit x, y, et z trois réels strictement supérieurs à 1, tel que .
Démontrez que .

Voici une autre solution:
On a .
Donc .
Donc .
Donc .
Or, on a .
(Selon l'inégalité de Caushy Schwartz).
Il en résulte que .
CQFD.
P.S: J'aime bien dire que pour l'autre exercice, on utilise l'inégalité arithmético-géométrique directement.
On a en effet, .
Avec .
Au plaisir.

Exercice 41:
Résolvez en IR² le système suivant:
.
Bonne chance.
P.S: Je ne sais pas si c'est abordable par un élève du niveau première année du cycle du baccalauréat sciences mathématiques, c'est le seul que je trouve à présent.
J'essayerai personnellement plus tard, car je n'ai pas de temps maintenant.

J'ai remarqué que ça faciliterai la tache si on passais par cosh et sinh ( respectivement cos hyperbolique et sin hyperbolique ) mais je n'essai même pas vu que ce n'est pas de votre niveau . En attente d'une solution plus abordable .

darkpseudo a écrit:

J'ai remarqué que ça faciliterai la tache si on passais par cosh et sinh ( respectivement cos hyperbolique et sin hyperbolique ) mais je n'essai même pas vu que ce n'est pas de votre niveau . En attente d'une solution plus abordable .

C'est directe.. : )


En haut un peu.. : )

M.Marjani a écrit:

darkpseudo a écrit:

J'ai remarqué que ça faciliterai la tache si on passais par cosh et sinh ( respectivement cos hyperbolique et sin hyperbolique ) mais je n'essai même pas vu que ce n'est pas de votre niveau . En attente d'une solution plus abordable .

C'est directe.. : )

Puisque le systéme{xy²+6x-y²-6=yx²+y (1) ET x²y+6y-x²-6=xy²+x (2)} a deux inconus, alors il suffit de constuire deux équation à partir de çe dernier, de préferable la somme et la différence:
La différence de (1) et (2) donne: -2xy(x-y)+7(x-y)+(x-y)(x+y)=0 donc x=y Ou x+y=2xy-7 (C)
Ce qui nous pousse de faire la somme de (1) et (2): -(x+y)²+5(x+y)+2xy-12=0 ==> (A)
1ér Cas: x=y: Et de remplaçer dans (A), -4x²+10x+2x²-12=0 alors x²-5x+6=0 , Delta=1 donc x=y=2 ou x=y=3
Le premier systéme se réduit en une seule équation: x²-5x+6=0 donc S_1={(2,2);(3,3)}
2éme Cas: x+y=2xy-7: (2xy-7)²-5(2xy-7)-2xy+12=0 <=> 4(xy)²-28xy+49-12xy+35+12=0 <=> (xy)²-10xy+24=0
Delta=4 ==> xy=6 alors d'aprés (C) x+y=5 donc x²-5x+6=0.. Ou xy=4 <=> x+y=1 donc x²-x+4=0 impossible car x²-x+1>0. S={(2,2);(3,3);(2,3);(3,2)}

En haut un peu.. : )

Bien. Je propose un autre exercice si je le trouve, sinon tu peux proposer le tien.

Exercice 42:
Résolvez en IR l'équation suivante:
.
Exercice 43:
ABCD est un rectangle, et M un point non situé sur (AB).
Soient:
-C' le projeté orthogonal de C sur (AM)
-D' le projeté orthogonal de D sur (BM)
-M' le projeté orthogonal de M sur (AB)
Montrez que les droites (MM'), (CC'), et (DD') sont concourantes.
Bonne chance.

Solution 42:

Remarquer que:
Donc

M.Marjani a écrit:

Solution 42:
Remarquer que:
Donc

Très bien.

nmo a écrit:

Exercice 43:
ABCD est un rectangle, et M un point non situé sur (AB).
Soient:
-C' le projeté orthogonal de C sur (AM)
-D' le projeté orthogonal de D sur (BM)
-M' le projeté orthogonal de M sur (AB)
Montrez que les droites (MM'), (CC'), et (DD') sont concourantes.
Bonne chance.

Voici une solution qui requiert les connaissances de l'année précédante:
Soit t la translation de vecteur .
On a ABCD un paralléllogramme.
Donc .
Donc t(C)=B.
Et l'image de (CC') par t est la doite parallèle à (CC') passant par B.
Elle est perpendiculaire à (AM): c'est donc la hauteur de AMB issue de B.==>(1)
De plus, on a (AD) est perpendiculaire à (AB) et (MM') est perpendiculaire à (AB).
Donc (AD) est parallèle à (MM)'.
L'image de (MM') par t est donc (MM'): la hauteur de AMB issue de M.==>(2)
On a enfin t(D)=A.
Et l'image de (DD') par t est la doite parallèle à (DD') passant par A.
Elle est perpendiculaire à (MB): c'est donc la hauteur de AMB issue de A.==>(3)
De 1, 2, et 3, on conclut que les images par t des droites (MM'), (CC'), et (DD') sont donc les trois hauteurs du triangle AMB.
Ces images étant concourante en un un point, leurs antécédants sont par conséquent également concourantes en un point.
Ce qui met fin à la démonstration.

Exercice 44:
Démontrez que est divisible par .
Trouvez le plus grand entier tel que divise .
Bonne chance.

Solution au problème 44 :
1) 1000! est clairement un multiple de 94.2^9 car 94 et 2^9=512 sont deux entiers différents et inférieurs à 1000 : 1000! = 1.2.3...94...512...999.1000
2) Selon la formule de Legendre :

Le plus grand n vérifiant 3^n divise 1000! est par conséquent 498.

Et je n'ai pas de problème à proposer pour le moment.

Dijkschneier a écrit:

Solution au problème 44 :
1) 1000! est clairement un multiple de 94.2^9 car 94 et 2^9=512 sont deux entiers différents et inférieurs à 1000 : 1000! = 1.2.3...94...512...999.1000

Désolé, j'ai commis une terrible faute de frappe.
C'est éditée.
Ta solution pour le deuxième est utile pour résoudre le premier aussi.
A l'aide de la formule que tu as annoncée, il devient trivial.
Personellement, j'ai proposé l'exercice car je ne savais pas cette formule de Legendre.
Je vais chercher un nouvel exercice.

Exercice 45:
Soit ABC un triangle tel que AB=n, AC=n+1, et BC=n+2.
Trouvez les amplitudes des angles de ce triangle sachant que l'angle .
Bonne chance.

selon la loi des sinus on a : sin(c)/n=sin(2c)/(n+2)=sin(TT-3c)/(n+1)
alors sin(2c)/sin(c)=(n+2)/n et sin(3c)/sin(c)=(n+1)/n
alors 2cos(c)=(n+2)/n et [sin(2c)cos(c)+sin(c)cos(2c)]/sin(c)=(n+1)/n
alors 4cos²(a)=(n+2)²/n² et (4cos²(a)-1)=(n+1)/n
alors 4cos²(a)=(n+2)²/n² et 4cos²(a)=(2n+1)/n
alors (n+2)²=n(2n+1) alors n²-3n-4=0 alors n=4 ou n=-1
alors n=4 ca veut dire 2cos(c)=3/2 alors cos(c)=3/4
alors c=41.4 et a=62.8 et b=75.8
sauf erreur et merci

.