Préparations aux olympiades de première (2010-2011)

je voudrais une confirmation de ma reponse svp!

yasserito a écrit:

je voudrais une confirmation de ma reponse svp!

La methode est bonne, mais le résultat est érroné.
Tu as commis une faute nette dès le départ:

yasserito a écrit:

selon la loi des sinus on a : sin(c)/n=sin(2c)/(n+2)=sin(TT-3c)/(n+1)

Tu as posé: .
Tu dois donc mettre .
A toi de rectifier ta solution.

c'est rectifie mais il y'a une erreur je pense nn?

yasserito a écrit:

svp ou est l'erreur?

L'erreur est dans l'énoncé.
Désolé, j'ai mal recopié l'énoncé.
Maintenant, c'est édité.
Si tu as réctifié la solution, et tu as trouvé que n=4 (solution unique), tu peux proposer un nouvel exercice.

c'est rectifié merci.

Probleme 46:
Soit x et y et z trois nombres appartenant a IR en tant que x+y+z=2
Prouvez que (x-2)²+(y-2)²+(z-2)²>=16/3

Sans perte de temps, voici un nouveau problème qui n'est pas facile:
Problème 47:
Démontrez que si on a , alors .
Bonne chance.
P.S: Remarquez la différence entre cet énoncé et celui de l'exercice 6 du livre de l'analyse (page 228)!!!

[quote="nmo"]

Dijkschneier a écrit:

Problème 17 :
Soit ABC un triangle et D le pied de la bissectrice intérieure de l'angle A.
Montrez que : AD² = AB.AC - BD.CD.

Selon le théorèmer des bissectrices intérieures, on a . ==>(1)

Cette relation elle existe?? ou bien c'est un resultat de la relation principale de la bissectrice?? merci d'avance!^^

yasserito a écrit:

nmo a écrit:

Dijkschneier a écrit:

Problème 17 :
Soit ABC un triangle et D le pied de la bissectrice intérieure de l'angle A.
Montrez que : AD² = AB.AC - BD.CD.

Selon le théorèmer des bissectrices intérieures, on a . ==>(1)
Cette relation elle existe?? ou bien c'est un resultat de la relation principale de la bissectrice?? merci d'avance!^^

Voilà le lien pour la solution:
https://mathsmaroc.jeun.fr/seconde-tronc-commun-f6/bissectrice-d-un-angle-t13210.htm.
Bonne découverte.

ah oui merci bcp!!mais est t'elle une relation directe qu'on peut utiliser directement sans la prouver svp?

yasserito a écrit:

ah oui merci bcp!!mais est t'elle une relation directe qu'on peut utiliser directement sans la prouver svp?

Non. Pas très très connue.

nmo a écrit:

Sans perte de temps, voici un nouveau problème qui n'est pas facile:
Problème 47:
Démontrez que si on a , alors .
Bonne chance.
P.S: Remarquez la différence entre cet énoncé et celui de l'exercice 6 du livre de l'analyse (page 228)!!!

Ainsi, je suis obligé à proposer une solution, le voici:
On a .
On prend x=1, on trouve que .==>(1)
(Donc .)
On prend x=-1, on trouve que .==>(2)
(Donc .)
On prend x=0, on trouve que .==>(3)
Et on a .
Et selon l'inégalité trigonométrique, il vient que .
Donc .==>(*)
On passe dorénavant au travail sérieux:
D'un premier côté:
On pose: .
Et puisque .
Alors .
Donc .
Donc .
Soit à écrire .
Donc f est une fonction linéaire, dont le coefficient est positif.
Elle est donc croissante pour tout |c| de [0,1].
Selon 3, on a .
Donc .
Donc .
Donc .
Et on a .
Donc .
Donc .
On déduit que .==>(a)
D'un second côté:
On pose .
(g est une fonction affine, dont le coefficient est b et de terme constant a+c)
-Si b est positif, la fonction g sera croissante pour tout x de [-1,1].
On a .
Donc .
Donc .
Selon 1 et 2, il vient que .
Donc .
-Si b est négatif, la fonction g sera décroissante pour tout x de [-1,1].
On a .
Donc .
Donc .
Selon 1 et 2, il vient que .
Donc .
Dans tous les cas, on a .==>(b)
De a et b ,on conclût que .
Soit .
CQFD.
Sauf erreur.

Cette fois-ci, je n'ai pas de problème à proposer.
Que quelqu'un se sente libre pour le faire.
P.S: J'attends une confirmation pour ma solution précédante.

Ta solution précédente est tout à fait juste.
Je m'attendais à ce que tu postes un nouveau problème, et j'aimerais que tu le fasses, car je n'ai pas non plus un problème approprié à proposer.

Voici un exercice que je n'ai pas encore résolu:
Problème 48:
Soit a et b deux réels.
Démontrez que .
Démontrez que .
Bonne chance.

Disjonction de cas : si a>=b, et si a<b.
J'attends le problème 49.

Dijkschneier a écrit:

Disjonction de cas : si a>=b, et si a<b.
J'attends le problème 49.

Tu peux détailler, monsieur.
Voici un problème tiré du manuel:
Problème 49:
Soit définie par .
Trouvez en fonction de n.
Bonne chance.

Puisqu'on est en vacance, je vous attends jusqu'à demain et je donne ma réponse.
Un petit indice: comptez combien de 2 a-t-on dans chaque nombre calculé.

Solution au problème 49 :

Et on peut le prouver par récurrence forte...
Singularité : la limite de cette suite vaut 4.

Dijkschneier a écrit:

Solution au problème 49 :

Et on peut le prouver par récurrence forte...
Singularité : la limite de cette suite vaut 4.

J'attends une solution détaillée de ta part, et je vais donner la mienne après un instant.
Je veux savoir comment tu vas calculer .

x0 déroge en effet à la formule : il faut faire de x0 un cas spécial en disant conjointement à la formule que j'ai énoncée que x0 = 1.

Si c'est à moi de proposer un nouveau problème, je propose :
Problème 50 : (** : deux étoiles)
Trouver toutes les fonctions f : Z -> Z telles que :
f(x-y+f(y)) = f(x) + f(y)

nmo a écrit:

Problème 49:
Soit définie par .
Trouvez en fonction de n.
Bonne chance.

Voici ma solution basé sur le principe de récurrence:
*On démontre que .
-On vérifie la relation pour l'indice 0.
On a et .
Donc .
La propriété est donc vraie pour n=0.
-On démontre l'héridité:
Supposons que la propriété est vraie au rang n, et démontrons qu'elle l'est aussi à l'indice n+1.
C'est à dire, démontrons que .
(N'oublions pas que ).
On a selon les données, .
On effectue la transformation: changer n par n+1.
On trouve .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
La propriété est donc vraie pour l'indice n+1.
-Sythèse du principe de la récurrence:
On a .==>(1)
*On démontre que .
La récurrence se fait sur k.
-On démontre la relation pour l'indice 0.
On a .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
La propriété est donc vraie pour n=0.
-On démontre l'héridité:
Supposons que la propriété est vraie au rang n, et démontrons qu'elle l'est aussi à l'indice n+1.
C'est à dire, démontrons que .
(N'oublions pas que ).
On a .
On effectue la transformation: changer n par n+k.
On trouve .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
La propriété est donc vraie pour l'indice k+1.
-Sythèse du principe de la récurrence:
On a .==>(2)
*Conclusion:
On prend n=0 dans la formule 2, on trouve que .
Donc .
Donc .
Soit finalement .
Sauf erreur.

Dijkschneier a écrit:

x0 déroge en effet à la formule : il faut faire de x0 un cas spécial en disant conjointement à la formule que j'ai énoncée que x0 = 1.

Je sais la réponse ultérieurement, et je m'attendait à une réponse bonne autre que celle-là.
En effet, il faut remarquer que la somme s'agit d'une somme des termes successifs d'une suite géométrique de raison .
On écrit .
Tu peux ainsi calculer aisément le premier terme de notre suite.
Jette un coup d'oeuil sur ma solution.

Solution 50:

Soit f la fonction vérifiant les données, tel que

En effectuant des changements sur l'EF du départ il s'ensuit :
. De méme
Soit en posant on écrit
Si : f(f(0))=2f(0) donc f(f(0)) est différent de zéro, et à chaque fois qu'on donne à x=y la valeur f(0) dans l'E.F du départ on déduira que / (façile à démontrer par une réccurence immédiate). Mais vérifie bien l'énoncé. Ce qui est clairement absurde. Donc
Réciproquement, les deux fonctions réalisent l'equation fonctionelle ainsi les donées.