fonction convexe

soient a<b de R et f R-->R convexe et g:[a,b] --> R continue MQ:
f( int(a,b)(g(t)dt)/(b-a)) <= int(a,b)( f(g(t))dt)/(b-a)

bonsoir

c'est l'inégalité de Jensen c'est trés utile dans la théorie de l'intégration puis dans l'analyse complexe et la construction des espaces de Hardy , classes de Nevanlinna ... dans IR c'est facile mais dans le cas des espaces mesurables c'est un peu compliqué (l'utilisation du théorème de borne sup ...) :

on pose S(n) = (b-a)/n sum(k=1-->n) g(a + k (b-a)/n) alors la convexité de f donne f(1/(b-a) S(n)) =< (1/b-a)*(b-a)/n sum(k=1-->n) fog(a + k(b-a)/n) comme f est convexe alors elle est continue (à demontrer) donc passoos à la limite et puisque S(n)--> int(a,b){ g(t)dt} d'où le resultat ...

et merci