Complexe.

Déterminer les nombres complexes x,y et z de modules inférieurs à 1 et vérifiant xyz=x+y+z=1.
Bonne chance .

Solution :
Puisque xyz=1, alors |xyz|=1. Or |x|,|y|,|z| <=1, donc |xyz| <= 1 avec égalité ssi |x|=|y|=|z|=1. On est justement dans le cas d'égalité, donc |x|=|y|=|z|=1.
On peut donc écrire : , et . Par conséquent : 1 = xyz = , d'où : .
Et on a d'autre part : 1 = x+y+z = , par suite : et .
On en déduit que : et
Cela doit bien impliquer que theta et theta' valent en valeur principale soit 0, soit PI/2, soit -PI/2.
Synthèse :
Les triplets solutions sont (i,-i,1) et toutes les autres permutations.

Dijkschneier a écrit:

Solution :
Puisque xyz=1, alors |xyz|=1. Or |x|,|y|,|z| <=1, donc |xyz| <= 1 avec égalité ssi |x|=|y|=|z|=1. On est justement dans le cas d'égalité, donc |x|=|y|=|z|=1.
On peut donc écrire : , et . Par conséquent : 1 = xyz = , d'où : .
Et on a d'autre part : 1 = x+y+z = , par suite :
On en déduit que :
Cela implique que : .
Par suite : x=y=z=1.

Bonsoir Dijkschneier !
Très bonne méthode , cependant , il y a quelque chose qui marche pas :
dans ton dernier passage : Cela implique que :
Je ne vois pas d'où vient ça , parce que le moteur Wolfram donne comme solutions à sin(a)+sin(b)=sin(a+b) :
Je serai ravi si tu éclaircis ce passage

Dijkschneier a écrit:

Solution :
Puisque xyz=1, alors |xyz|=1. Or |x|,|y|,|z| <=1, donc |xyz| <= 1 avec égalité ssi |x|=|y|=|z|=1. On est justement dans le cas d'égalité, donc |x|=|y|=|z|=1.
On peut donc écrire : , et . Par conséquent : 1 = xyz = , d'où : .
Et on a d'autre part : 1 = x+y+z = , par suite : et .
On en déduit que : et
Cela doit bien impliquer que theta et theta' valent en valeur principale soit 0, soit PI/2, soit -PI/2.
Synthèse :
Les triplets solutions sont (i,-i,1) et toutes les autres permutations.

La premiere méthode était fausse la 2eme moins claire parceque cos(teta)+cos(teta')+cos(teta")=1 et non pas 0 et le systeme implqieu que teta valent pi/2 ou -pi/2 et non pas 0
en fait le systeme qu'il faut résoudre c en fait
je pose teta=a , teta'=b teta"=c

cos(a)+cos(b)+cos(a+b)=1
sin(a)+sin(b)=sin(a+b)
ce qui donne apres calculs que :
cos(a+b)=cos(pi-a+b)
...
et les soltion son bien
S={i,-i,1} et les autre permutations cycliques.

Oui Sporovitch. Les permutations à la fin sont symétriques et non cycliques
Je serais intéressé par la résolution que tu as faite du système.

J'avais fait la même solution que celle de Dijkschneier , mais j'ai voulu trouver une autre , c'est pour ça que j'ai posté l'exercice.
En réessayant , j'ai pensé à utiliser un polynôme du troisième degré :
P(z)=z³+bz²+az+c qui a trois racines complexes x,y et z .
on a b=-(x+y+z) , a=xy+yz+xz et c =-xyz
d'où P(z)=z³-z²+az-1
on doit discuter les cas de a , peut-être utiliser Cardan .... reste à essayer.
j'ai aussi songé à utiliser l'implication |x|=|y|=|z|=1=>|xy+yz+xz|=|x+y+z|=1 (qui se démontre facilement) ainsi on aura |a|=1 alors a.ā=1 ..... j'ai pas pu finir .

Dijkschneier a écrit:

Oui Sporovitch. Les permutations à la fin sont symétriques et non cycliques
Je serais intéressé par la résolution que tu as faite du système.

OK! Oui
sin²a+sin²b+2sin(a)sin(b)=sin²(a+b)
==> 1-cos²a+1-cos²b+2cos(a)cos(b)+2sin(a)sin(b)=sin²(a+b)+2cos(a)cons(b)=1-cos²(a+b)+2cos(a)cos(b)
==> 1+2cos(a-b)+cos²(a+b)=(cos(a)+cos(b))²=(1-cos(a+b))²
ce qui donne
cos(a-b)+cos(a+b)=0 ou
cos(a+b)=cons(pi-a+b)

tarask a écrit:

J'avais fait la même solution que celle de Dijkschneier , mais j'ai voulu trouver une autre , c'est pour ça que j'ai posté l'exercice.
En réessayant , j'ai pensé à utiliser un polynôme du troisième degré :
P(z)=z³+bz²+az+c qui a trois racines complexes x,y et z .
on a b=-(x+y+z) , a=xy+yz+xz et c =-xyz
d'où P(z)=z³-z²+az-1
on doit discuter les cas de a , peut-être utiliser Cardan .... reste à essayer.
j'ai aussi songé à utiliser l'implication |x|=|y|=|z|=1=>|xy+yz+xz|=|x+y+z|=1 (qui se démontre facilement) ainsi on aura |a|=1 alors a.ā=1 ..... j'ai pas pu finir .

ton idée est bonne aussi.
je termine donc:
z³-z²+az-1=0 ==> 1/z³ -1/z²-1/az -1=0 (a.ā=1)
donc az=1+z²-z³ et 1/az=1+1/z²-1/z³
donc 1=(1+z²-z³)(1+1/z²-1/z³) <==> (z-1)²(z²+1)(z²+z+1)=0
CQFD. (les solution de : z²+z+1=0 ne vérifient pas lénnoncé initial)

Sporovitch a écrit:

tarask a écrit:

J'avais fait la même solution que celle de Dijkschneier , mais j'ai voulu trouver une autre , c'est pour ça que j'ai posté l'exercice.
En réessayant , j'ai pensé à utiliser un polynôme du troisième degré :
P(z)=z³+bz²+az+c qui a trois racines complexes x,y et z .
on a b=-(x+y+z) , a=xy+yz+xz et c =-xyz
d'où P(z)=z³-z²+az-1
on doit discuter les cas de a , peut-être utiliser Cardan .... reste à essayer.
j'ai aussi songé à utiliser l'implication |x|=|y|=|z|=1=>|xy+yz+xz|=|x+y+z|=1 (qui se démontre facilement) ainsi on aura |a|=1 alors a.ā=1 ..... j'ai pas pu finir .

ton idée est bonne aussi.
je termine donc:
z³-z²+az-1=0 ==> 1/z³ -1/z²-1/az -1=0 (a.ā=1)
donc az=1+z²-z³ et 1/az=1+1/z²-1/z³
donc 1=(1+z²-z³)(1+1/z²-1/z³) <==> (z-1)²(z²+1)(z²+z+1)=0
CQFD. (les solution de : z²+z+1=0 ne vérifient pas lénnoncé initial)

très joli mon ami !
Je sentais bien la nécessité de devoir recourir au polynôme.
Merci d'avoir complété ma réponse