inegalité a,b,c > 0

Citation :

Montrer que pour tous réels strictement positifs a , b et c, on a :

ax+b a écrit:

les nombres sont réels
donc :[color:57bb=red:57bb]a>=1 et b>=1 et c>=1
et : a²>=1 et 8bc >= 8
==> a² + 8bc >=9
==> racine de a² + 8bc >=3
==> a / racine de a² + 8bc >= 1/3
de meme on trouve les deux autres nombres ,on conclue que l'adition est >= 1/3 +1/3+1/3
>= 1
d'ou le résultat

Salut !

Citation :

a>=1 et b>=1 et c>=1

Je crois que a b et c >0 et non pas a b et c >1
non ?

Evidemment relena

ah oui je me sui tromper jé pris en comte que se sont des nombre entier ..une faille quoi ;

ax+b a écrit:

les nombres sont réels
donc :a>=1 et b>=1 et c>=1
et : a²>=1 et 8bc >= 8
==> a² + 8bc >=9
==> racine de a² + 8bc >=3
==> a / racine de a² + 8bc >= 1/3
de meme on trouve les deux autres nombres ,on conclue que l'adition est >= 1/3 +1/3+1/3
>= 1
d'ou le résultat [/b]

kinda weird

a/rac(a²+8bc)>=a^(4/3)/[a^(4/3)+b^(4/3)+c^(4/3)]

kalm a écrit:

a/rac(a²+8bc)>=a^(4/3)/[a^(4/3)+b^(4/3)+c^(4/3)]

Tu px me dire comment t'as trouvé steuplé

Conan a écrit:

Citation :

Montrer que pour tous réels strictement positifs a , b et c, on a :

salut tt le monde

la fonction 1/rac(x) est concave sur R alors aprs jensen il suffit de demontrez que

a(a²+8bc)+b(b²+8ac)+c(c²+ab)=<1

c-a-dire a^3+b^3+c^3+24abc=<1

est si on peut posez que a+b+c=1

anors cette inegalite est homogene comme je pense

plus facile !!!


a:b:c >0

a/rac(a²+8b)>=a^(4/3)/(a^(4/3)+b^(4/3)+c^(4/3))<=====>(a^(4/3)+b^(4/3)+c^(4/3))²>=a^(2/3)(a²+8bc)

car (a²+b²)>=2(ab)====>(a^4+b^4+c^4)>=4abc


et puis on fais la meme chose avec c et b

Il ne reste plus qu'à faire la somme pour obtenir l'negalite de exercice

codex00 a écrit:

kalm a écrit:

a/rac(a²+8bc)>=a^(4/3)/[a^(4/3)+b^(4/3)+c^(4/3)]

Tu px me dire comment t'as trouvé steuplé

car (a²+b²)>=2(ab)====>(a^4+b^4+c^4)>=4abc

voir la premier reponse

badr a écrit:

codex00 a écrit:

kalm a écrit:

a/rac(a²+8bc)>=a^(4/3)/[a^(4/3)+b^(4/3)+c^(4/3)]

Tu px me dire comment t'as trouvé steuplé

car (a²+b²)>=2(ab)====>(a^4+b^4+c^4)>=4abc

Conan a écrit:

badr a écrit:

codex00 a écrit:

kalm a écrit:

a/rac(a²+8bc)>=a^(4/3)/[a^(4/3)+b^(4/3)+c^(4/3)]

Tu px me dire comment t'as trouvé steuplé

car (a²+b²)>=2(ab)====>(a^4+b^4+c^4+d^4)>=4abcd

edentite remarquable avec ac;d >0

badr a écrit:

Conan a écrit:

badr a écrit:

codex00 a écrit:

kalm a écrit:

a/rac(a²+8bc)>=a^(4/3)/[a^(4/3)+b^(4/3)+c^(4/3)]

Tu px me dire comment t'as trouvé steuplé

car (a²+b²)>=2(ab)====>(a^4+b^4+c^4)>=4abc

edentite remarquable avec ac >0

je veux dire ça (a^4+b^4+c^4)>=4abc

badr a écrit:

Conan a écrit:

badr a écrit:

Conan a écrit:

badr a écrit:

codex00 a écrit:

kalm a écrit:

a/rac(a²+8bc)>=a^(4/3)/[a^(4/3)+b^(4/3)+c^(4/3)]

Tu px me dire comment t'as trouvé steuplé

car (a²+b²)>=2(ab)====>(a^4+b^4+c^4+b^4)>=4abcd

edentite remarquable avec ac >0

je veux dire ça (a^4+b^4+c^4+d^4)>=4abcd

tu viens d'ajouter le d

oui t'ai pas fais attention


maintenaut est clair
mais toi tu na pa vu le 1° reponse

a,b,c étant 3 réels strictement positifs on pose a'=rac(a2+8bc), b'=rac(b2+8ac), c'=rac(c2+8ab).
Montrer que a/a'+b/b'+c/c'>=1.
Notons S=a/a'+b/b'+c/c' ; en posant u=rac(a/a'), v=rac(b/b'), w=rac(c/c') et u'=rac(a)*rac(a'), v'=rac(b)*rac(b'), w'=rac(c)*rac(c') on obtient S=u2+v2+w2 et u*u'+v*v'+w*w'=a+b+c.
D'après l'inégalité de Schwartz on a (a+b+c)2<=(u2+v2+w2)*(u'2+v'2+w'2) et donc
S>=(a+b+c)2/(u'2+v'2+w'2) : il faut continuer à minorer.
On remarque évidemment que u'2+v'2+w'2=a*a'+b*b'+c*c' et on pourrait songer à appliquer Schwartz à cette somme mais cela n'aboutit pas ; par contre u'2+v'2+w'2=rac(a)*(rac(a)*a')+rac(b)*(rac(b)*b')+rac(c)*(rac(c)*c') (il fallait y penser!) et là on peut aussi appliquer l'inégalité de Schwartz :
(u'2+v'2+w'2)2<=(a+b+c)*(a*a'2+b*b'2+c*c'2) soit (puisque u'2+v'2+w'2>=0)
u'2+v'2+w'2<=(rac(a+b+c))*(rac(a*a'2+b*b'2+c*c'2)) et donc
S>=(a+b+c)2v/((rac(a+b+c))*(rac(a*a'2+b*b'2+c*c'2))).
Pour montrer que S>=1 il suffit alors de prouver que (a+b+c)3>=a*a'2+b*b'2+c*c'2 c'est-à-dire que :
(a+b+c)3>=a*(a2+8bc)+b*(b2+8ac)+c*(c2+8ab). En développant tout azimut les 2 membres on constate que cette inégalité est équivalente à montrer que a2*b+a2*c+b2*c+b2*a+c2*a+c2*b-6abc>=0.
L'idéal pour montrer que quelque chose est positif étant que ce quelque chose soit une somme ou un produit de positifs, la vue de ce 6abc peut alors.....faire penser à 3 doubles produits!Et, effectivement
a2*b+a2*c+b2*c+b2*a+c2*a+c2*b-6abc=a(b-c)2+b(a-c)2+c(a-b)2 qui est bien positif ou nul!