TDM - Test 3 - Problème 3

Problème.
Soit et des réels strictement positifs tels que .
Prouver que:

Auteur du Problème : Sporovitch

Auteur du Problème : Sporovitch

Ce que j'ai dis xD

Je l'ai résolu mon cher Houssam

Ma réponse pour problème 3:

Soient a, b et c des réels strictement positifs tel que: a+b+c=ab+ac+bc.

Considérons la fonction f définie sur IR+: .

On a: f est concave sur IR+.

Donc d'après Jensen:





Donc pour montrer l'inégalité proposée, il suffit de montrer que:







Posons: .

L'inégalité à démontrer est alors équivalente à:





Ce qui est vrai vu que: (car x=a+b+c et a,b et c sont des réels strictement positifs) et .

CQFD.

Solution:

Remarquons d'abord que a²+ab+b² = a²+b²+c² +(ab+bc+ac) -c(a+b+c)
<=> a²+ab+b² = (a+b+c)²- 2(a+b+c) + a+b+c -c(a+b+c) car (a+b+c)²=a²+b²+c²+2(ab+bc+ac)
<=> a²+ab+b² = (a+b+c)(a+b-1) Et cycliquement. Donc CygmaV(a²+ab+b²)=CygmaV((a+b-1)(a+b+c))

Alors il suffit de Montrer que a+b+c >= V(a+b-1) + V(b+c-1) + V(c+a-1)
Qui est juste puisque (V(a+b-1))²+1 >= 2V(a+b-1) <=> (a+b)/2 >= V(a+b-1) et cycliquement on obtient CQFD.

On a aussi par AM-Gm (a+b)²(a+b+c)²>=4(a²+ab+b²)(ab+bc+ac)
d'ou la conclusion .
- (a+b)(a+b+c)=[(a²+ab+b²)+ab+bc+ac].

Sporovitch a écrit:

On a aussi par AM-Gm (a+b)²(a+b+c)²>=4(a²+ab+b²)(ab+bc+ac)
d'ou la conclusion .
- (a+b)(a+b+c)=[(a²+ab+b²)+ab+bc+ac].

Trés bonne idée !