Joli exercice, voici ma réponse (mais c'est à vérifier):
D'abord, on note AB=c AC=b BC=a, p le demi-périmètre, R le rayon du cercle circonscrit et r le rayon du cercle inscrit.
On a (OA_1) est la médiatrice du segment [BC], donc:
.
Et on a (OC_1) est la médiatrice du segment [AB], donc:
.
.
.
Donc d'après la théorème de Ptolémée:
.
De manière analogue, on démontre que les quadrilatères OC_1AB_1 et OA_1CB_1 sont inscriptibles, et en appliquant la théorème de Ptolémée, on trouve que:
.
On sommant ces trois égalités, il vient que:
OA_1+(a+c)OB_1+(a+b)OC_1=a+b+c\;%20\;%20\;%20\;%20\;%20(*))
.
Et on a:
)
.
(*)+(**)=>
(OA_1+OB_1+OC_1)=(a+b+c)+\frac{abc}{2})
})
.
On a d'après l'inégalité de Cauchy Schwartz:
(\frac{1}{OA_1}+\frac{1}{OB_1}+\frac{1}{OC_1})\geq&space;9)
.
.
Donc pour montrer l'inégalité proposée, il suffit de montrer que:
.
}\leq%20\frac{3}{2}\Leftrightarrow%20\frac{abc}{2(a+b+c)}\leq%20\frac{1}{2}\Leftrightarrow%20\frac{abc}{a+b+c}\leq%201)
.
(***).
Et on a:
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D'où:
\Leftrightarrow%202p\geq%204S\Leftrightarrow%20p\geq%202S\Leftrightarrow%20p\geq%202pr\Leftrightarrow%20p(1-2r)\geq%200\Leftrightarrow%201-2r\geq%200)
.
.
Ce qui est vrai, d'où le résultat voulut.
Avec égalité si par exemple ABC est équilatéral.
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