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 Jeu d'Hiver 2011-2012.(préparation aux olympiade)

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boubou math
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MessageSujet: Jeu d'Hiver 2011-2012.(préparation aux olympiade)   Jeu d'Hiver 2011-2012.(préparation aux olympiade) EmptyJeu 03 Nov 2011, 22:01

Comme l'indique son nom , ce sujet a pour but d'organiser un jeu pour bien se préparer aux olympiade,les règles ne sortent pas du commun :
1/ chaque problème posté devrai avoir un numéro.
2/ Les Solutions devrai être en spoiler .
3/ chaque participant ayant donné une solution à un précédent problème doit se charger de proposer un nouveau problème.si quelqu'un arrive à trouver une solution sans avoir un nouveau exercice qu'il indique pour que quelqu'un d'autre le fait .
4/ De préférence les énoncés et les solutions devraient être rédigé en Latex
5/ Ne pas poster un nouveau problème avant qu'une solution de l'ancien soit posté (sauf si un problème dépasse 4 jours sans être résolu )
Finalement, j’espère que votre participation serra serra la plus fructueuse.
J'attend vos remarques.
exercice N1
Trouver tous les entiers premiers (a,b,c) tel que :
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Dernière édition par boubou math le Jeu 12 Jan 2012, 19:30, édité 2 fois
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ZYGOTO
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MessageSujet: Re: Jeu d'Hiver 2011-2012.(préparation aux olympiade)   Jeu d'Hiver 2011-2012.(préparation aux olympiade) EmptyJeu 03 Nov 2011, 22:22

good luck .


Dernière édition par ZYGOTO le Jeu 03 Nov 2011, 23:14, édité 1 fois
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expert_run
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MessageSujet: Re: Jeu d'Hiver 2011-2012.(préparation aux olympiade)   Jeu d'Hiver 2011-2012.(préparation aux olympiade) EmptyJeu 03 Nov 2011, 22:59

Solution pour problème 1:
On suppose que a>=b>=c
ab+ac+bc>abc <==> 1/a + 1/b + 1/c >1
Donc 3/c >= 1/a + 1/b + 1/c > 1
Pour c>=3 Il n’existe aucune solution.
Pour c=2
1/a + 1/b + 1/c= 1/a+ 1/b +1/2 >1 <==>1/a+ 1/b > 1/2
-----Pour b>=5 2/5>= 1/a + 1/b il n'existe aucune solution
.......Pour b=3
1/a + 1/b + 1/c= 1/a+ 1/3 + 1/2 =>1/a >1/6 <==> a€{3;5}
......Pour b=2
1/a + 1/b + 1/c=1+1/a donc a€P tel que P est l ensemble des premiers positifs.
Solution:
(p,2,2) et ses permutations avec p€P et (3,3,2);(3;5;2) et leurs permutations
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expert_run
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MessageSujet: Re: Jeu d'Hiver 2011-2012.(préparation aux olympiade)   Jeu d'Hiver 2011-2012.(préparation aux olympiade) EmptyJeu 03 Nov 2011, 23:35

Problème2:
Soient a;b et c des réels positifs tq: a+b+c=1
Prouver que:
Jeu d'Hiver 2011-2012.(préparation aux olympiade) Gif.latex?\sum_{cyc}^{
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Mehdi.O
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MessageSujet: Re: Jeu d'Hiver 2011-2012.(préparation aux olympiade)   Jeu d'Hiver 2011-2012.(préparation aux olympiade) EmptyVen 04 Nov 2011, 14:25

expert_run a écrit:
Problème2:
Soient a;b et c des réels positifs tq: a+b+c=1
Prouver que:
Jeu d'Hiver 2011-2012.(préparation aux olympiade) Gif.latex?\sum_{cyc}^{
Spoiler:
 
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expert_run
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MessageSujet: Re: Jeu d'Hiver 2011-2012.(préparation aux olympiade)   Jeu d'Hiver 2011-2012.(préparation aux olympiade) EmptyVen 04 Nov 2011, 14:32

Oui juste
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boubou math
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MessageSujet: Re: Jeu d'Hiver 2011-2012.(préparation aux olympiade)   Jeu d'Hiver 2011-2012.(préparation aux olympiade) EmptySam 05 Nov 2011, 10:03

autre Solution pour exo 2 sans Jensen :
Spoiler:
 
à toi Mehdi
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diablo902
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MessageSujet: Re: Jeu d'Hiver 2011-2012.(préparation aux olympiade)   Jeu d'Hiver 2011-2012.(préparation aux olympiade) EmptySam 05 Nov 2011, 12:09

Puisque personne n'a posté un exo . Je poste un:
Problème 3 :
Spoiler:
 
Bonne chance. Very Happy
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expert_run
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MessageSujet: Re: Jeu d'Hiver 2011-2012.(préparation aux olympiade)   Jeu d'Hiver 2011-2012.(préparation aux olympiade) EmptySam 05 Nov 2011, 15:00

Solution 3:
Lemme:
Jeu d'Hiver 2011-2012.(préparation aux olympiade) Gif
Démonstration:
Jeu d'Hiver 2011-2012.(préparation aux olympiade) Gif
Ce qui est vrai avec égalité ssi x=2.
Donc:
Jeu d'Hiver 2011-2012.(préparation aux olympiade) Gif
Il suffit donc de prouver que:
Jeu d'Hiver 2011-2012.(préparation aux olympiade) Gif
Jeu d'Hiver 2011-2012.(préparation aux olympiade) Gif
Ce qui est immédiat par I.AG.


Dernière édition par expert_run le Sam 05 Nov 2011, 16:09, édité 1 fois
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expert_run
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MessageSujet: Re: Jeu d'Hiver 2011-2012.(préparation aux olympiade)   Jeu d'Hiver 2011-2012.(préparation aux olympiade) EmptySam 05 Nov 2011, 15:17

Problème4:
Prouver que pour des entiers positifs m et n.
Jeu d'Hiver 2011-2012.(préparation aux olympiade) Gif est divisible par Jeu d'Hiver 2011-2012.(préparation aux olympiade) Gif. Si et seulement si n est divisible par Jeu d'Hiver 2011-2012.(préparation aux olympiade) Gif
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Misterayyoub
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MessageSujet: Re: Jeu d'Hiver 2011-2012.(préparation aux olympiade)   Jeu d'Hiver 2011-2012.(préparation aux olympiade) EmptySam 05 Nov 2011, 15:43

en applicaant ta lemme ta utilisé dans le dénominateur 1+x² , alors que ta lemme est pour 2+x² Smile
je pense que ta solution est eronnée !
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expert_run
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MessageSujet: Re: Jeu d'Hiver 2011-2012.(préparation aux olympiade)   Jeu d'Hiver 2011-2012.(préparation aux olympiade) EmptySam 05 Nov 2011, 16:07

Misterayyoub a écrit:
en applicaant ta lemme ta utilisé dans le dénominateur 1+x² , alors que ta lemme est pour 2+x² Smile
je pense que ta solution est eronnée !
C'est juste une faute de frappe.
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expert_run
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MessageSujet: Re: Jeu d'Hiver 2011-2012.(préparation aux olympiade)   Jeu d'Hiver 2011-2012.(préparation aux olympiade) EmptyMar 08 Nov 2011, 11:39

Vous pouvez voir la solution du problème 4 ici
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judicecharatein
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MessageSujet: Re: Jeu d'Hiver 2011-2012.(préparation aux olympiade)   Jeu d'Hiver 2011-2012.(préparation aux olympiade) EmptyMar 08 Nov 2011, 12:49

si expert-run le permet ,je vous propose un nouveau problème:
problème 5
trouver n tq : 2n-1 et 37n+1 soient deux carrés parfaits


Dernière édition par judicecharatein le Mar 08 Nov 2011, 21:15, édité 1 fois
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az360
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MessageSujet: Re: Jeu d'Hiver 2011-2012.(préparation aux olympiade)   Jeu d'Hiver 2011-2012.(préparation aux olympiade) EmptyMar 08 Nov 2011, 16:13

judicecharatein a écrit:
si expert-run le permet ,je vous propose un nouveau problème:
Probleme 5 :
trouver n tq : 2n-1 et 37n+1 soient deux carrés parfaits

Spoiler:
 
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boubou math
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MessageSujet: Re: Jeu d'Hiver 2011-2012.(préparation aux olympiade)   Jeu d'Hiver 2011-2012.(préparation aux olympiade) EmptyJeu 10 Nov 2011, 17:59

Solution du Problème 5
Spoiler:
 


Dernière édition par boubou math le Ven 11 Nov 2011, 21:48, édité 2 fois
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boubou math
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MessageSujet: Re: Jeu d'Hiver 2011-2012.(préparation aux olympiade)   Jeu d'Hiver 2011-2012.(préparation aux olympiade) EmptyJeu 10 Nov 2011, 18:46

Problème 6
Montrer qu'il n'existe qu'un nombre finie de triplets a,b,c d'entiers naturels tels que :
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boubou math
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MessageSujet: Re: Jeu d'Hiver 2011-2012.(préparation aux olympiade)   Jeu d'Hiver 2011-2012.(préparation aux olympiade) EmptySam 12 Nov 2011, 09:09

indice :
Spoiler:
 
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diablo902
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MessageSujet: Re: Jeu d'Hiver 2011-2012.(préparation aux olympiade)   Jeu d'Hiver 2011-2012.(préparation aux olympiade) EmptySam 12 Nov 2011, 11:01

Par symétrie on suppose a<b<c
Tchebyshev nous donne: a+b+c>=9000
encore Tchebyshev: a+b+c<=9000
Donc a+b+c=9000
Edit: Je n'ai pas b1 lire la question Rolling Eyes
Sauf erreu r
J'att la confirmation pour poster un nouveau exo


Dernière édition par diablo902 le Sam 12 Nov 2011, 12:52, édité 3 fois
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rimele
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MessageSujet: Re: Jeu d'Hiver 2011-2012.(préparation aux olympiade)   Jeu d'Hiver 2011-2012.(préparation aux olympiade) EmptySam 12 Nov 2011, 11:15

si tes démarches sont justes tu as terminer Smile car tu as montrer que l'ensemble des solution(non vide car le triplet (3000,3000,3000)vérifie l'équation) est borné donc fini (car il est une partie de IN)
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boubou math
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MessageSujet: Re: Jeu d'Hiver 2011-2012.(préparation aux olympiade)   Jeu d'Hiver 2011-2012.(préparation aux olympiade) EmptySam 12 Nov 2011, 12:12

diablo902 a écrit:
Par symétrie on suppose a<b<c
Tchebyshev nous donne: a+b+c>=9000
encore Tchebyshev: a+b+c<=9000
Donc a+b+c=9000
Donc (3000;3000;3000)est une solution
Sauf erreu r
J'att la confirmation pur poster un nouveau exo
j'aimerais bien savoir comment tu as utilisé Tchebychev...
la ligne en rouge n'a aucune relation avec l'exo , le faite que a+b+c=9000 et a,b,c sont des entier affirme qu'il n'y a qu'un nombre finie de solution .
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diablo902
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MessageSujet: Re: Jeu d'Hiver 2011-2012.(préparation aux olympiade)   Jeu d'Hiver 2011-2012.(préparation aux olympiade) EmptySam 12 Nov 2011, 12:37

boubou math a écrit:
diablo902 a écrit:
Par symétrie on suppose a<b<c
Tchebyshev nous donne: a+b+c>=9000
encore Tchebyshev: a+b+c<=9000
Donc a+b+c=9000
Donc (3000;3000;3000)est une solution
Sauf erreu r
J'att la confirmation pur poster un nouveau exo
j'aimerais bien savoir comment tu as utilisé Tchebychev...
la ligne en rouge n'a aucune relation avec l'exo , le faite que a+b+c=9000 et a,b,c sont des entier affirme qu'il n'y a qu'un nombre finie de solution .
J'ai fais tchebyshev 2 fois ; la 1er (a+b+c)(1/a+1/b+1/c); la 2eme: (a+b+c)(1/c+1/b+1/a)
Alors Je l'ai résolu
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Misterayyoub
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MessageSujet: Re: Jeu d'Hiver 2011-2012.(préparation aux olympiade)   Jeu d'Hiver 2011-2012.(préparation aux olympiade) EmptySam 12 Nov 2011, 13:06

Bonjour tout le monde , je vous propose ma solution :
Solution au probleme 6 : :

Jeu d'Hiver 2011-2012.(préparation aux olympiade) Gif

Et puisque le nombre de diviseurs de 1000^2 est un nombre fini , donc on aura plusieurs systeme a resoudre , des systemes qui sont finis biensur , par conséquent on aura un nombre de solution fini aussi . CQFD
sauf erreur Smile .


Dernière édition par Misterayyoub le Sam 12 Nov 2011, 13:55, édité 1 fois
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boubou math
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MessageSujet: Re: Jeu d'Hiver 2011-2012.(préparation aux olympiade)   Jeu d'Hiver 2011-2012.(préparation aux olympiade) EmptySam 12 Nov 2011, 13:27

diablo902 a écrit:
boubou math a écrit:
diablo902 a écrit:
Par symétrie on suppose a<b<c
Tchebyshev nous donne: a+b+c>=9000
encore Tchebyshev: a+b+c<=9000
Donc a+b+c=9000
Donc (3000;3000;3000)est une solution
Sauf erreu r
J'att la confirmation pur poster un nouveau exo
j'aimerais bien savoir comment tu as utilisé Tchebychev...
la ligne en rouge n'a aucune relation avec l'exo , le faite que a+b+c=9000 et a,b,c sont des entier affirme qu'il n'y a qu'un nombre finie de solution .
J'ai fais tchebyshev 2 fois ; la 1er (a+b+c)(1/a+1/b+1/c); la 2eme: (a+b+c)(1/c+1/b+1/a)
Alors Je l'ai résolu
pourrais tu terminer la 2 eme
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boubou math
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MessageSujet: Re: Jeu d'Hiver 2011-2012.(préparation aux olympiade)   Jeu d'Hiver 2011-2012.(préparation aux olympiade) EmptySam 12 Nov 2011, 13:46

Misterayyoub a écrit:
Bonjour tout le monde , je vous propose ma solution :
Solution au probleme 6 : :

Jeu d'Hiver 2011-2012.(préparation aux olympiade) Gif

Et puisque le nombre de diviseurs de 1000^2 est un nombre fini , donc on aura plusieurs systeme a resoudre , des systemes qui sont finis biensur , par conséquent on aura un nombre de solution fini aussi . CQFD
sauf erreur Smile .
l'existance d'un entier d tel que
Jeu d'Hiver 2011-2012.(préparation aux olympiade) Gif
est a prouver.
De plus , à la fin tu as prouver que le nombre de solution d est finie et non pas b et c
donc il te reste à prouver que pour d fixé l’équation :
Jeu d'Hiver 2011-2012.(préparation aux olympiade) Gif
admet un nombre finie de solution .
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MessageSujet: Re: Jeu d'Hiver 2011-2012.(préparation aux olympiade)   Jeu d'Hiver 2011-2012.(préparation aux olympiade) Empty

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