Préparation Aux Olympiades 2012/2013

Bonjour,
Vu qu'il n y'avait pas de sujet visant la préparation aux olympiades de cette année pour les premières années, je me suis dis que j'en ferais un.
Donc, dans ce sujet je voudrais bien qu'on propose des exercices de préparation, inutile de poser des questions tirés du manuel ou des livres tel que dima dima ou top ... D'autre part on peut considérer ce sujet un lieu de défi...
Il appartient aux membres de chercher des exercices originaux, il est possible de consulter plusieurs sources notamment de la part des professeurs, il est aussi favorable d'essayer de créer ses propres exercices, ce serait un atout quoique difficile et demande du temps
Ne participez à ce sujet que lorsque vous aurez terminer vos exercices scolaires, car les exercices proposés ici ne vous seront d'aucune aide pour les examens et D.S scolaires, conseil de la part de mon propre professeur
Finalement proposez vos solutions dans des spoilers, afin de les cacher pour les nouveaux venus, et de ne pas gâcher les exercices. N'oubliez pas de numéroter les exercices.
(Essayer d'écrire en latex pour une meilleure compréhension )

J'ouvre ce sujet avec un exercice intéressant
Problème 1
Chercher tous les couples (x,y) d'entiers naturels satisfaisant à l'égalité:

Spoiler:

Edit : Désolé je n'ai pas vu la première solution .

c'est pas grave

adeltouzani a écrit:

Spoiler:

Humber, désolé mais j'ai bien demandé de mettre les solutions entre spoilers sinon on gâche l'exercice ... tu me comprends ...
Oui désolé c'est réglé mais, je suis désolé mais tu as demandé de mettre les réponses en Spoiler Tu me comprends

montrer que pour tout nombre réel x : x^6 + x^4 - x^3-x + 3/4>0

adeltouzani a écrit:

Solution au problème 2

Spoiler:

donne moi des triplets pour la quel cette valeur est atteinte sinon c'est partiellement faux .

k.abdo a écrit:

montrer que pour tout nombre réel x : x^6 + x^4 - x^3-x + 3/4>0

Sans vouloir etre impoli le problème 2 est encore en Jeu .

k.abdo a écrit:

montrer que pour tout nombre réel x : x^6 + x^4 - x^3-x + 3/4>0

Veuillez respecter les règles du marathon !

mais tu n'as pas préciser qu'on doit donner les triplets qui vérifient cette valeur je vais m'y mettre tout de suite ...

adeltouzani a écrit:

mais tu n'as pas préciser qu'on doit donner les triplets qui vérifient cette valeur

ce que je veux dire par cela que ta solution est fausse car le maximum khsso des triplets qui vérifie la condition . AMicalement

adeltouzani a écrit:

mais tu n'as pas préciser qu'on doit donner les triplets qui vérifient cette valeur je vais m'y mettre tout de suite ...

C'est ce que veut dire la valeur maximale. C'est à dire qu'il y a un triplet pour lequel ab+bc+ac-abc atteint sa valeur maximale.

k.abdo a écrit:

montrer que pour tout nombre réel x : x^6 + x^4 - x^3-x + 3/4>0

Numérote cet exercice, puis essaye d'écrire en Latex ( voici un bon site: http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php ) c'est juste pour que tout soit en ordre et pour ne pas se perdre par la suite, et de préférence attend qu'on poste la solution définitive d'un exercice pour pouvoir en poster un nouveau

alidos a écrit:

adeltouzani a écrit:

mais tu n'as pas préciser qu'on doit donner les triplets qui vérifient cette valeur

ce que je veux dire par cela que ta solution est fausse car le maximum khsso des triplets qui vérifie la condition . AMicalement

ah oui c'est vrai je viens de comprendre ce que tu veux dire

la valeur 4 est atteinte par pour a=b=c=2

adeltouzani a écrit:

la valeur 4 est atteinte par pour a=b=c=2

wach pour a=b=c=2


a²+b²+c²+abc=4

Pense a une Substitution trigonométrique à lire les premières pages de ce livre

http://ohkawa.cc.it-hiroshima.ac.jp/AoPS.pdf/problem%20from%20the%20book.pdf

bessa7 j'ai oublié dak le détail ... bon merci alidos pour le livre je vais l'étudier inchaalah

alidos a écrit:

Problème 2

Problème 2 encore en jeu !

Solution Problème 1 (problème 2 encore en jeu)

Spoiler:

J'ajoute ma solution seulement pour s'échanger les idées sinon le problème 2 est à priorité...
voici une autre méthode:

Spoiler:

adeltouzani a écrit:

Spoiler:

Comment as-tu constaté cela !

Humber a écrit:

adeltouzani a écrit:

Spoiler:

Comment as-tu constaté cela !

Observe bien supérieur strictement à
et puisque donc la seule valeur possible de y tel que est 0 réfléchis bien on travaille dans l'ensemble ... amicalement

Prend x=2 , y=1