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 Préparation Aux Olympiades 2012/2013

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Ahmed Taha
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MessageSujet: Re: Préparation Aux Olympiades 2012/2013   Mer 12 Déc 2012, 22:21

Probleme 17 :

trouver tous les entiers positifs x,y et z tels que x^2+y^2+z^2=1993 et x+y+z un carre parfait.
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Humber
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MessageSujet: Re: Préparation Aux Olympiades 2012/2013   Jeu 13 Déc 2012, 18:26

Avec Caushy Schwartz :

3(x²+y²+z²) >= (x+y+z)^2
==> x+y+z =< 77

Il est clair que x+y+z est impair , donc :
x+y+z=1
ou x+y+z=9
ou x+y+z=25
ou x+y+z=49

Les trois premiers cas étant déjà impossibles il ne reste que le quatrième .
Il revient de résoudre le système :
x²+y²+z² = 1993
x+y+z=49

Ce dernier n'accepte pas de solutions positives Laughing

Il n'y a donc pas d'entiers positifs x,y,z tel que x^2+y^2+z^2=1993 et x+y+z est un carre parfait
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Gauss-Maxwell
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MessageSujet: Re: Préparation Aux Olympiades 2012/2013   Jeu 13 Déc 2012, 19:26

Humber a écrit:
Avec Caushy Schwartz :

3(x²+y²+z²) >= (x+y+z)^2
==> x+y+z =< 77

Il est clair que x+y+z est impair , donc :
x+y+z=1
ou x+y+z=9
ou x+y+z=25
ou x+y+z=49

Les trois premiers cas étant déjà impossibles il ne reste que le quatrième .
Il revient de résoudre le système :
x²+y²+z² = 1993
x+y+z=49

Ce dernier n'accepte pas de solutions positives Laughing

Il n'y a donc pas d'entiers positifs x,y,z tel que x^2+y^2+z^2=1993 et x+y+z est un carre parfait
pk x+y+z est impaire ?!!
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Humber
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MessageSujet: Re: Préparation Aux Olympiades 2012/2013   Jeu 13 Déc 2012, 19:36

Gauss-Maxwell a écrit:
Humber a écrit:
Avec Caushy Schwartz :

3(x²+y²+z²) >= (x+y+z)^2
==> x+y+z =< 77

Il est clair que x+y+z est impair , donc :
x+y+z=1
ou x+y+z=9
ou x+y+z=25
ou x+y+z=49

Les trois premiers cas étant déjà impossibles il ne reste que le quatrième .
Il revient de résoudre le système :
x²+y²+z² = 1993
x+y+z=49

Ce dernier n'accepte pas de solutions positives Laughing

Il n'y a donc pas d'entiers positifs x,y,z tel que x^2+y^2+z^2=1993 et x+y+z est un carre parfait
pk x+y+z est impaire ?!!

x²+y²+z² et x+y+z ont la même parité Wink .. Et puisque x²+y²+z² = 1993 , x+y+z est ?
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Ahmed Taha
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MessageSujet: Re: Préparation Aux Olympiades 2012/2013   Jeu 13 Déc 2012, 19:41

Humber a écrit:
Avec Caushy Schwartz :

3(x²+y²+z²) >= (x+y+z)^2
==> x+y+z =< 77

Il est clair que x+y+z est impair , donc :
x+y+z=1
ou x+y+z=9
ou x+y+z=25
ou x+y+z=49

Les trois premiers cas étant déjà impossibles il ne reste que le quatrième .
Il revient de résoudre le système :
x²+y²+z² = 1993
x+y+z=49

Ce dernier n'accepte pas de solutions positives Laughing

Il n'y a donc pas d'entiers positifs x,y,z tel que x^2+y^2+z^2=1993 et x+y+z est un carre parfait

Joli mai kan ymken tgoul (x+y+z)^2>x^2+y^2+z^2 ou ghadi tkemel blli x+y+z>45
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Humber
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MessageSujet: Re: Préparation Aux Olympiades 2012/2013   Jeu 13 Déc 2012, 19:44

Ahmed Taha a écrit:
Humber a écrit:
Avec Caushy Schwartz :

3(x²+y²+z²) >= (x+y+z)^2
==> x+y+z =< 77

Il est clair que x+y+z est impair , donc :
x+y+z=1
ou x+y+z=9
ou x+y+z=25
ou x+y+z=49

Les trois premiers cas étant déjà impossibles il ne reste que le quatrième .
Il revient de résoudre le système :
x²+y²+z² = 1993
x+y+z=49

Ce dernier n'accepte pas de solutions positives Laughing

Il n'y a donc pas d'entiers positifs x,y,z tel que x^2+y^2+z^2=1993 et x+y+z est un carre parfait

Joli mai kan ymken tgoul (x+y+z)^2>x^2+y^2+z^2 ou ghadi tkemel blli x+y+z>45

Ah oui ^^ . C'est mieux .
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Ahmed Taha
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MessageSujet: Re: Préparation Aux Olympiades 2012/2013   Jeu 13 Déc 2012, 20:00

nous attons un exo khay Humber Wink
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Humber
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MessageSujet: Re: Préparation Aux Olympiades 2012/2013   Jeu 13 Déc 2012, 21:11

Problème 18 :



Dernière édition par Humber le Sam 15 Déc 2012, 16:17, édité 1 fois
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alidos
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MessageSujet: Re: Préparation Aux Olympiades 2012/2013   Jeu 13 Déc 2012, 22:14

Solution du Problème 18

Spoiler:
 
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alidos
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MessageSujet: Re: Préparation Aux Olympiades 2012/2013   Jeu 13 Déc 2012, 22:32

Et je n'ai pas de problème à proposer. Que chacun se sente libre d'en proposer un à ma place.
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sadaso
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MessageSujet: Re: Préparation Aux Olympiades 2012/2013   Ven 14 Déc 2012, 17:12

Soit a un réel . Soit f :R=>R telle que , pour tout réel x :
f(x+a)=1/2+Racine (f(x)-[f(x)]² )
1) Prouver que f est périodique
2) Trouvez toutes les fonctions f
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Humber
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MessageSujet: Re: Préparation Aux Olympiades 2012/2013   Sam 15 Déc 2012, 16:19

Le problème 19 est l'exercice 5 de L'IMO 1968.

Voici le problème 20 :



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Ahmed Taha
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MessageSujet: Re: Préparation Aux Olympiades 2012/2013   Lun 17 Déc 2012, 09:19

Humber a écrit:
Le problème 19 est l'exercice 5 de L'IMO 1968.

Voici le problème 20 :






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Ahmed Taha
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MessageSujet: Re: Préparation Aux Olympiades 2012/2013   Lun 17 Déc 2012, 09:24

problème 21 :
determiner tous les entiers naturels x,y et z tels que : x²+y²+z²=2xyz
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Humber
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MessageSujet: Re: Préparation Aux Olympiades 2012/2013   Mar 18 Déc 2012, 19:32

x²+y²+z²=2xyz (1)
x²+y²+z² est pair ==> x,y,z sont pairs ou x,y pairs et z impair .
Ainsi :
2xyz ≡ 0 (mod 4) ==> x²+y²+z² ≡ 0 (mod 4) ==> x,y,z sont tous pairs .
De là on peut poser x=2a , y=2b z=2c

(1) <==> a²+b²+c²=4abc ==> a,b,c sont pairs
Donc (1) <==> r²+s²+t²=8rst avec 2r=a , 2s=b , 2t=c ... Et à leurs tours ils sont pairs. Et ainsi de suite ça ne finira jamais. Il n'y a donc qu'une seule solution si x=y=z=0.


PS : on peut traiter ça d'une autre manière : ( 0 , 0 , 0 ) est une solution, supposons que (a,b,c) £ N* On a a²+b²+c² >= ab+bc+ac ==> 1/a+1/b+1/c <4 ==> (a,b,c) > 2 et 1/r+1/s+1/t <8 ==> (r,s,t) > 0 . Ca ne finira jamais aussi car pour que ça finisse un d'eux doit être impair ce qui est impossible Razz
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Soukaina Amaadour
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MessageSujet: Re: Préparation Aux Olympiades 2012/2013   Ven 28 Déc 2012, 23:13

Problème 22:

(assez facile mais bon pour ne pas arrêter le jeu.)

Montrez que :



Somme de k=1 jusqu'à k=n.
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Gauss-Maxwell
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MessageSujet: Re: Préparation Aux Olympiades 2012/2013   Lun 31 Déc 2012, 18:01

on a 1/n+ 1/n+1 = 2n²+1/n²(n+1) nombre impair sur pair , donc appartient pas à n , soit Un la suite définie par Un= 1/n+1/n+1 , en donnant à n des valeur et en sommant on obtient le résultat ,( puisque on peut pas sommer "ma9amate mokhtalifa" )
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Humber
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MessageSujet: Re: Préparation Aux Olympiades 2012/2013   Lun 31 Déc 2012, 19:12

Gauss-Maxwell a écrit:
on a 1/n+ 1/n+1 = 2n²+1/n²(n+1) nombre impair sur pair , donc appartient pas à n , soit Un la suite définie par Un= 1/n+1/n+1 , en donnant à n des valeur et en sommant on obtient le résultat ,( puisque on peut pas sommer "ma9amate mokhtalifa" )

Ta démo est extrêmement FLOUE ! Prière de l'éclaircir
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Gauss-Maxwell
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MessageSujet: Re: Préparation Aux Olympiades 2012/2013   Mar 01 Jan 2013, 12:29

Humber a écrit:
Gauss-Maxwell a écrit:
on a 1/n+ 1/n+1 = 2n²+1/n²(n+1) nombre impair sur pair , donc appartient pas à n , soit Un la suite définie par Un= 1/n+1/n+1 , en donnant à n des valeur et en sommant on obtient le résultat ,( puisque on peut pas sommer "ma9amate mokhtalifa" )

Ta démo est extrêmement FLOUE ! Prière de l'éclaircir
j'ai montré que la somme de 1/n +1/n+1 appartient pas à IN , (1/n+1/n+1= 2n²1 (nombre impair) sur n(n+1) nombre pair ! , donc en considérant la suite Un = (1/n)+(1/n+1) U_1= 1+1/2 appartient pas à IN , U_2= 1/2+1/3 appartient pas à IN ..... à Un-1 = 1/n-1 + 1/n appartient pas à IN , et puisque "lma9amate moukhtalifa " la somme des résultat appartient pas à IN ! desolé je ne maîtrise pas le latex
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alidos
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MessageSujet: Re: Préparation Aux Olympiades 2012/2013   Mer 02 Jan 2013, 01:00

Pour
on a


Ainsi :



Dernière édition par alidos le Mer 02 Jan 2013, 02:24, édité 5 fois
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alidos
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MessageSujet: Re: Préparation Aux Olympiades 2012/2013   Mer 02 Jan 2013, 01:13

Problème 23

A partir des chiffres 1,2,...,9 on écrit tout les nombres formés par ces neuf chiffres (les neuf chiffres sont tous distincts) puis on les ordonne par ordre croissant comme suit:
123456789, 123456798,...., 987654321.
Quel est le nombre dont le rang est 100000.
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Humber
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MessageSujet: Re: Préparation Aux Olympiades 2012/2013   Dim 20 Jan 2013, 18:29

Inégalité :
(a,b,c)>=0 tel que abc=8

Prouver que :

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Oty
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MessageSujet: Re: Préparation Aux Olympiades 2012/2013   Lun 21 Jan 2013, 12:39

ma solution pour l'inégalité :
il suffit d'utilisé l'estimation suivante qui s'obtient facilement par AM-GM /
ou z>=0
le reste est facile .....
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legend-crush
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MessageSujet: Re: Préparation Aux Olympiades 2012/2013   Lun 21 Jan 2013, 18:20

Wi, c plutot facile
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Humber
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MessageSujet: Re: Préparation Aux Olympiades 2012/2013   Lun 21 Jan 2013, 19:52

legend-crush a écrit:
Wi, c plutot facile

Legend Crush , tu n'a qu'à proposer une suite de la démo ^^
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MessageSujet: Re: Préparation Aux Olympiades 2012/2013   Aujourd'hui à 01:54

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