Préparation aux olympiades {2012/2013}

Je vous demande qu'on s'entraide pour les olympiades de 2013. s'il vous plait, postez vos exos olympiades! je poste quelque uns aussi!
Merci

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voici un autre:

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je donnerai le résultats de quelques exercices!! Merci d'avance

Exo 12:
a+b=1
donc a²+b²+2ab=1
d'ou 2+2ab=1
donc ab=-(1/2)
donc on déduit a+b=1
ab=-(1/2)
soit une equation (E): x²-x-(1/2)=0
\Delta=1+2
et déduire le résultats

Exo 14:
A= (1+3+3²+....+3^9)-(1+2+2²+....+2^9)+1
et sachant que 1+a+a²+.....+a^n= (1-a^(n+1))/(1-a) je le démontrerai a la fin
on trouve
A= [(1-3^10)/(1-3)]-[(1-2^10)/1-2]+1
= (59048/2)-1023+1
= 28502

1) Multiplier la première fraction par bc et la troisième par b + Sommer et on trouve le résultat

8 ) 2a+1 < a²+2a+1
==> sqrt(2a+1) < a+1 (1)
2b+1 < b²+2b+1
==> sqrt(2b+1) < b+1 (2)

Sommer 1 et 2 ==> le résultat

Exo 6 c facile
Exo 7:
1) nous remaquons que cette première equation accepte pour solution 1.
donc p(x)=2x^3+8x²+2x12=(x-1)Q(x)=2(x-1)(x²+5x+6)=2(x-1)(x+2)(x+3)
donc p(x)=0 <=> x=1 ou x=-2 ou x= -3
d'où s={1;-2;-3}

2) x^4+2x^3+2x²+2x+1=0
<=> x²(x²+2x+2+2/x+1/x²)=0
<=> x²( (x²+(1/x²)+2-2)+2(x+1/x)+2)=0
<=> x²( (x+(1/x))²+2(x+1/x))=0
<=> x²(x+(1/x))(x+(1/x)+2)=0
<=> x=0 ou x²-x+1=0 (impossible car delta<0) ou x²+2x+1=0
<=> x=0 ou x=-1
s={0;-1}

5)

merci!!

Svp surtout l'exo 43

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jes démontrer ça:
soit A=x^6-x^5+x^4-x^3+x²-x+1
xA=x^7-x^6+x^5-x^4+x^3-x²+x
xA+A=x^7+1
d'ou A= (x^7+1)/(x+1)
il faut donc démontrer(je crois) que (x^7+1)/(x+1)>=1/2

43 ) x^6-x^5+x^4-x^3+x²-x+1 >= 1/2
<==> (x-1)(x^5+x^3+x) >= -1/2
<==> x(x-1)(x^4+x²+1)>=-1/2

x^4+x²+1 >= 1 (1)
x(x-1) >=-1/2 car le delta est négatif (2)

(1) et (2) ==> x^6-x^5+x^4-x^3+x²-x+1 >= 1/2

merci Humber

un exo

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bah voila la solution! essayer de la faire avant de la regarder
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De l'aide svp pour cet exo plzzzz

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svp

1)
Remplacer x par 0

2) remplacer x par 1 puis par -1 et sommer

3)
|a+b+c| < 1 ==> a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac<1 ==> a²+b²+c²+2b(a+c)+2ac<1 ==> a²+b²+c²-2b-2a<1 ==> a²+b²+c² <2(a+b)+1

Il suffit de montrer que a+b <2
(-1<a+b+c < 1 avec -1<-c<1) ==> |a+b|<2 CQFD

[quote="legend-crush"]Exo 6 c facile
Exo 7:
1) nous remaquons que cette première equation accepte pour solution 1.
donc p(x)=2x^3+8x²+2x12=(x-1)Q(x)=2(x-1)(x²+5x+6)=2(x-1)(x+2)(x+3)
donc p(x)=0 <=> x=1 ou x=-2 ou x= -3
d'où s={1;-2;-3}

2) x^4+2x^3+2x²+2x+1=0
<=> x²(x²+2x+2+2/x+1/x²)=0
<=> x²( (x²+(1/x²)+2-2)+2(x+1/x)+2)=0
<=> x²( (x+(1/x))²+2(x+1/x))=0
<=> x²(x+(1/x))(x+(1/x)+2)=0
<=> x=0 ou x²-x+1=0 (impossible car delta<0) ou x²+2x+1=0
<=> x=0 ou x=-1
s={0;-1}
si x=0 tu peux po factoriser
en plus remplace x par 0 ca te donne 1=0 !!!!!!!
la solution x=-1
amicalement

EXO 45: a;b>=0
a+b=1 ==> ab<=1
==>(3-3ab>=ab+2
==>(1-ab)/(ab+2) >=1/3
==>(a²+b²+ab/(ab+2)>=1/3
==>[a²(b+1)+b²(a+1)]/(a+1)(b+1)>=1/3
==>(a²/a+1) +(b²/b+1) >=1/3
amicalement

j'avais pa fais attention merci caushy schwarz

Exo: exo que j'ai crée
A=1+2+3+4....+n
B=1+(1/2)+(1/3)+....+(1/n)
Demontrer que A+B>2n

Σ 1/k = 1+1/2+...+1/n >= 1

==> A+B= n(n+1)/2 + Σ 1/k > n(n+1)/2 + 1
Il suffit de prouver que n(n+1)/2 + 1 >= 2n <==> n²-3n+2>=0 Ce qui est vrai pour tout n £ IN

legend-crush a écrit:

Exo: exo que j'ai crée
A=1+2+3+4....+n
B=1+(1/2)+(1/3)+....+(1/n)
Demontrer que A+B>2n

Une solution alternative consiste à utiliser l'inégalité arithmético-géométrique:
On a: .
Soit en sommant: .
D'où: .
Soit .
Et finalement: .
CQFD.

c'est ca a quoi j'avais pensé moi nmo

encore un exo que j'ai fait
démontrer de 2 façon: que 1+2+3+4+...+n>=n*racine(n)
un signe: 1+2+3+4+...+n=n(n+1)/2
Un autre 1^3+2^3+3^3+....+n^3=(1+2+3+...+n)²

1) on a 1+2+3+...+n*n(n+1)/2
or n+1>2sqrt(n)
d'ou 1+2+3+....+n=nsqrt(n)
2)on a aussi 1^3+2^3+3^3+....+n^3=(1+2+3+...+n)²
or 1^3+2^3+3^3+....+n^3>n^3
d'ou (1+2+3+...+n)²>n^3
donc 1+2+3+....+n=nsqrt(n)

exo: trouver le plus petit n tel que : (1+2²+3²+...+n²)/2 est un carré parfait