Groupe engendré par un element

Bonjour

S'il vous plait j'ai du mal à comprendre cette définition , J'ai beau relire la démonstration et les exemples mais je n'arrive pas à la comprendre ! Est ce que je peux avoir des exemples avec explications svp !

Merci d'avance !

aZ est le groupe engendré par un entier a .
Par définition le groupe engendré par un élément est le plus petit sous groupe contenant cet élément , par exemple le singleton e est le groupe engendré par l'élément neutre e .
Si tu note ta loi additivement , le groupe engendré par ton élément c'est l'ensemble des éléments qui s'obtiennent en ajoutant a ou le symétrique de a un certain nombre de fois .
Pour des racines n-ièmes de l'unité , le groupe engendré par une racine est l'ensemble des puissances de cet racine .

Soit (G,*) un groupe,

-proposition
Soit Hi une famille de sous groupe de G, alors l'intersection des Hi est aussi un sous groupe de G.

- Définition
soit S une partie de G, on note <S>=intersection de tous les sous groupe de G qui contiennent S
alors <S> est un sous groupe d'après la proposition et il est appelé le sous-groupe engendré par S.

- Cas particulier
soit a un élement de G alors <{a}> est le sous groupe engendré par a . (noté plus simplement <a>

- proposition
<a>={a^k, k dans Z}
où a^k=a*a*a

PS : Essaye déjà de comprendre la définition, je pense qu'elle est clair

Merci beaucoup darkpseudo et joystar Pour les explications !