Inégalité

Soient a, b et c des réels strictement positifs, montrer que:

$Inégalité Gif$

Maître Nombre de messages : 235 Age : 28 Date d'inscription : 26/12/2010

Salut,
Un coup de Chebychev + Nesbitt donne le resultat! Je posterai ma réponse quand j'aurai le temps!

oui c'est évidement clair en utilisant l'inegalite de Chebyshev obtenue par une réoredonement puisque a et b et c jouent un role symetrique ce qui conduit a supposer que l'un d'eux est le plus grand et un autre est le plus petit.puis on conclut le résultat.

J'aimerais bien voir une solution complète si c'est possible !

mais je ne maitrise pas utiliser le latex

par symétrie on suppose que a est supérieur de b supérieur de c.
alors a²+b² supérieur de a²+c² supérieur de b²+c²
ainsi 1/(b+c) est supérieur de 1/(a+c) supérieur de 1/(b+a)
par reordonnement on a
(a²+c²)/(a+c)+(a²+b²)/(a+b)+(b²+c²)/(b+c) est inferieur de (a²+c²)/(a+c)+(a²+b²)/(b+c)+(b²+c²)/(a+b)
alors il suffit de prouver que S= (a²+c²)/(a+c)+(a²+b²)/(b+c)+(b²+c²)/(a+b) est inferieur de 3(a²+b²+c²)/(a+b+c) ce qui est vrai puisque on a d'après l'inégalité de Chebyshev
1/3 S multiplier par ((a+b)+(a+c)+(b+c))est inférieur de 2(a²+b²+c²)
ce qui laisse a conclure le résultat

ali-mes a écrit:: Soient a, b et c des réels strictement positifs, montrer que:

$Inégalité Gif$

voici ma solution :

Inégalité Png10

abdelkrim-amine a écrit:

ali-mes a écrit:: Soient a, b et c des réels strictement positifs, montrer que:

$Inégalité Gif$

voici ma solution :

Inégalité Png10

La dernière ligne est fausse, ton inégalité sera inversée Wink

Mehdi.O a écrit:: ]La dernière ligne est fausse, ton inégalité sera inversée

ahh oui c'est vrai que $Inégalité Png$ Mad

.dsl je n'ai pas fait attention Sad

en tous cas merci Smile

aymas a écrit:: par symétrie on suppose que a est supérieur de b supérieur de c.
alors a²+b² supérieur de a²+c² supérieur de b²+c²
ainsi 1/(b+c) est supérieur de 1/(a+c) supérieur de 1/(b+a)
par reordonnement on a
(a²+c²)/(a+c)+(a²+b²)/(a+b)+(b²+c²)/(b+c) est inferieur de (a²+c²)/(a+c)+(a²+b²)/(b+c)+(b²+c²)/(a+b)
alors il suffit de prouver que S= (a²+c²)/(a+c)+(a²+b²)/(b+c)+(b²+c²)/(a+b) est inferieur de 3(a²+b²+c²)/(a+b+c) ce qui est vrai puisque on a d'après l'inégalité de Chebyshev
1/3 S multiplier par ((a+b)+(a+c)+(b+c))est inférieur de 2(a²+b²+c²)
ce qui laisse a conclure le résultat

je pense que votre solution est fausse voila :
$Inégalité Png$

P.S pour écrire en latex voici le lien : $Inégalité Png$

Expert sup Nombre de messages : 521 Age : 28 Date d'inscription : 23/12/2010

abdelkrim-amine a écrit:: $Inégalité Png.download?\sum\frac{a^{2}+b^{2}}{a+b}\le\frac{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{a+b+c}\Leftrightarrow&space;\sum&space;a+\frac{1}{2}\sum&space;\frac{(a-b)^2}{a+b}\leq&space;\frac{3\sum&space;a^{2}}{\sum&space;a}\\\\\Leftrightarrow&space;\sum&space;\frac{(a-b)^2}{a+b}\leq&space;\frac{2\sum(a-b)^2}{\sum&space;a}\\\\on\&space;applique\&space;la&space;\&space;transformation\&space;de\&space;Ravi\&space;:\&space;a=x+y,\&space;b=x+z,\&space;c=y+z\\\\avec\&space;x,y,z%3E&space;0$

On ne peux appliquer les transformation de Ravi sauf si a,b,c sont des cotés d'un triangle .

ah c'est vrai j'ai pas fais attention mais je pense que la mienne est juste et il existe une faute de frappe comise par ali car l'inégalité n'est pas verifier pour a=1 ;b=2 ;c=3 et on trouve que le membre gauche de l'inégalité est supérieur de membre droit

l'inégalité doit être inversée

si c'est possible je vais proposer un exo
Inégalité Moz-screenshot-11

aymas a écrit:: ah c'est vrai j'ai pas fais attention mais je pense que la mienne est juste et il existe une faute de frappe comise par ali car l'inégalité n'est pas verifier pour a=1 ;b=2 ;c=3 et on trouve que le membre gauche de l'inégalité est supérieur de membre droit

aymas a écrit:: l'inégalité doit être inversée

Ne dis pas n'importe quoi !

Pour a=1, b=2 et c=3, on trouve: LHS=6.76.. et RHS=7 !

Jusqu'à présent, personne n'a donné une preuve correcte...

Solution du problème :
1ère solution :

Spoiler:

2ème solution :

Spoiler:

Spoiler:

aymas a écrit:

Spoiler:

Le passage qui mène vers l'ordre des suites est faux désolé

Mehdi.O a écrit:

Solution du problème :
1ère solution :

Spoiler:

2ème solution :

Spoiler:

Joli Mehdi.O !

Voici ma réponse spoilée:

Spoiler:

Maître Nombre de messages : 235 Age : 28 Date d'inscription : 26/12/2010

Salut,
Solution 4
... Faux ...

voila ma généralisation de cette problème :
a,b,c des reels tel que : a+b+c strictement superieur a 0 .
Montrer l'inegalité !!! bn chance .... Very Happy

Est ce que quelq'un peut m'expliquer qu'est ce que sa veut dire l'homogénité ?????

Maître Nombre de messages : 235 Age : 28 Date d'inscription : 26/12/2010

Sauf erreur :
Si tu multiplies chaque variable par k, les k se simplifient pour retourner à l'inégalité initiale (Ce n'est pas la définition hein! C'est juste comment le prouver. La définition rigoureuse me dépasse !)
Exemple : L'inegalité a²+b²+c²>=ab+bc+ac est homogène
parce que (ka)²+(kb)²+(kc)²>=(ka)(kb)+(kb)(kc)+(ka)(kc)
<=> k²(a²+b²+c²)>=k²(ab+bc+ac)
<=> a²+b²+c²>=ab+bc+ac
Si une inegalité est homogene, tu peux poser des contraintes sur a+b+c ou abc...
Ceci se demontre bien sûr en choisissant le bon k!
Regarde ce lien : http://forums.futura-sciences.com/mathematiques-superieur/435078-inegalite-homogene.html

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