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 monde des inégalités

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L-W-P
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MessageSujet: monde des inégalités   Dim 29 Déc 2013, 19:59

lançant un sujet consacré aux olympiades.
Comme d’habitude numéroter  les exercices.
EX1:


c'est facile mais c'est pour commencer


Dernière édition par L-W-P le Dim 29 Déc 2013, 20:18, édité 2 fois
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L-W-P
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MessageSujet: Re: monde des inégalités   Dim 29 Déc 2013, 20:26

EX2:


autre exo habitué
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Sketshup
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MessageSujet: Re: monde des inégalités   Lun 30 Déc 2013, 13:06

Pour le 2!!!

-Démontrer que le polynôme x^3 -3x + 2 est toujours positif dans R+ (la racine évidente est 1).

-En déduire que pour tout a, b et c dans R+, 3racinecubVabc <= abc + 2
-En conclure que la moyenne géométrique de a, b et c est inférieure ou égale à (abc+2)/3, et donc la moyenne harmonique est également inférieure à (abc+2)/3

-Inverser les deux côtés, puis multiplier par 3, pour trouver l'inégalité voulue...

Je poste?
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L-W-P
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MessageSujet: Re: monde des inégalités   Lun 30 Déc 2013, 13:25

Solution EX2:
Par I.A.G:

il suffit de démontrer que

Par I.A.G:


d'où le résultat.
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L-W-P
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MessageSujet: Re: monde des inégalités   Lun 30 Déc 2013, 13:26

à vous de poster maintenant .
B.N: numéroter et utiliser latex
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Sketshup
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MessageSujet: Re: monde des inégalités   Lun 30 Déc 2013, 14:16

Ah non, je passe!!

J'veux de quoi m'entraîner pendant ces vacances^^!!

A'vous l'honneur!!

(Un indice pour le 1?)
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legend-crush
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MessageSujet: Re: monde des inégalités   Lun 30 Déc 2013, 14:37

Puisque personne n'a proposé d'exercice, et pour faire un peu vite je propose cette equation fonctionelle (un peu facile pour commencer).
EXO 3:
Determinez toutes les applications de R vers R verifiant:
f(x²+y)=f(x)+f(y²) pour tout (x,y) de R²
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legend-crush
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MessageSujet: Re: monde des inégalités   Lun 30 Déc 2013, 14:38

-désolé si je n'ai pas mis une inegalité, j'ai pas lu le titre du sujet, mais bon cet exercice est un peu facile.  Wink Wink 
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Sketshup
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MessageSujet: Re: monde des inégalités   Lun 30 Déc 2013, 15:39

Réponse de l'EXO 3:

en substituant y = 0, on trouve f(x) = f(x²) = f(x^4) = .... = f(x^2n) pour tout n dans N

en substituant x² = -y on trouve -f(x) = f(x^4)

D'où f(x) = -f(x) pour tout x dans R.

la solution est la fonction nulle.


Pareil, je ne poste pas d'exo.
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legend-crush
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MessageSujet: Re: monde des inégalités   Lun 30 Déc 2013, 16:03

C'est juste. A toi de Poster cette fois ^^
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L-W-P
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MessageSujet: Re: monde des inégalités   Lun 30 Déc 2013, 17:02

EXO 1
indice IAG
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Sketshup
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MessageSujet: Re: monde des inégalités   Mar 31 Déc 2013, 14:50

C'est bizarre, je ne l'ai toujours pas...Soit je me suis égaré, soit c'est plus difficile que prévu (z'eu vote pour la première option Razz)

Bon, en attendant la solution pour le 1er, voilà une bonne inégalité, de quoi nous entraîner pour les factorisations.

a, b et c sont les côtés d'un triangle, prouver que:
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L-W-P
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MessageSujet: Re: monde des inégalités   Mer 01 Jan 2014, 10:07

j' ai déjà prévenu de numéroter les exercices
EXO 4
a,b,c sont des longueurs d'un triangle, prouver que

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legend-crush
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MessageSujet: Re: monde des inégalités   Mer 01 Jan 2014, 12:16

My ugly method for the forth Exercice:
j'ai besoin de confirmation pour poster un exercice Smile

Sauf Erreur Smile
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legend-crush
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MessageSujet: Re: monde des inégalités   Mer 01 Jan 2014, 14:20

Bon En attendant votre confirmation je Poste:
EXO 5:
soit a,b et c des réels positifs tel que a+b+c+d=1, Montrer que:
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seledeur
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MessageSujet: Re: monde des inégalités   Mer 01 Jan 2014, 16:51

WLOG : ordonner les variables, tchebychev, utiliser 4(a²+b²+c²+d²) ≥(a+b+c+d)² et 2(a+b+c+d)(∑(1/a+b))≥ 16 . A vous de proposer un exo
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legend-crush
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MessageSujet: Re: monde des inégalités   Mer 01 Jan 2014, 16:57

A toi de proposer, c'est bien toi qui a trouvé la réponse ^^
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Sketshup
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MessageSujet: Re: monde des inégalités   Mer 01 Jan 2014, 17:13

#Legend-Cruch: Ta méthode paraît correcte, je ne suis pas au courant des nouvelles propriétés de la trigo de cette année...En attendant qu'un autre puisse corriger, voici ma proposition, et j'espère qu'elle vous sera utile à tous!!

Nouvelle factorisation, aussi (enfin, presque) importante que les identités remarquables:

(a²+b²+c²)² - (a^4 + b^4 + c^4) = (a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)

on a a, b, et c les longueurs d'un triangle, donc les 4 termes du produits sont positifs, d'où l'inégalité!!

P.S: On attend l'EXO 6^^
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legend-crush
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MessageSujet: Re: monde des inégalités   Mer 01 Jan 2014, 17:16

Ta méthode est très bonne et courte. Mais elle n'est pas évidente à trouver ^^
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Sketshup
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MessageSujet: Re: monde des inégalités   Mer 01 Jan 2014, 17:17

Merci!!

Mais maintenant, on peut la trouver facilement!!
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legend-crush
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MessageSujet: Re: monde des inégalités   Mer 01 Jan 2014, 17:19

Seledeur, tu veux bien proposer une inégalité? Sinon qui peut en mettre une ?
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seledeur
Féru


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MessageSujet: Re: monde des inégalités   Mer 01 Jan 2014, 17:20

D'accord : x,y,z > -1
prouvez que  
                                   
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Humber
Expert grade2


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MessageSujet: Re: monde des inégalités   Mer 01 Jan 2014, 18:33

legend-crush a écrit:
My ugly method for the forth Exercice:
j'ai besoin de confirmation pour poster un exercice Smile

Sauf Erreur Smile

Remarques :
acos(A)+bcos(B)+ccos(C)=2asin(B)sin(C)=2S/R donc on peut achever la solution dès la quatrième ligne et pour l'avant avant dernière ligne, le LHS est égal à 2 pour tous A B C angles d'un triangle.
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Zouhair-Evariste
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MessageSujet: Re: monde des inégalités   Mer 01 Jan 2014, 23:31

seledeur a écrit:
D'accord : x,y,z > -1
prouvez que  
                                   
remarquez bien que 1+x²/1+y+z²>= 1+x²/(1+((y²+1)/2)+z²) et puis on substitue par a=x²+1 ... et on obtiendra une inégalité plus facile
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seledeur
Féru


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MessageSujet: Re: monde des inégalités   Jeu 02 Jan 2014, 02:36

Oui, Bravo, Proposes une autre .
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