problème N°64 de la semaine (15/01/2007-21/01/2007)

salut
chaque participant doit poster sa solution ( format word ) par E-MAIL

amateursmaths@yahoo.fr

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puis il poste le message suivant ici "solution postée"
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Merci

Salut
Solution postée
voici la solution d'abdelbaki attioui
Bonjour
x^80+x^48+x^24+x^8+1=(x²-1)Q(x)+(ax+b) avec Q dans R[x] et a,b réels.
==> a+b=5 et -a+b=5
==> a=0 et b=5
Donc le reste cherché est 5x
@+

Bonjour ;
Solution postée
voici la solution d'elhor

Bonjour Samir ;

En notant P(X) le dividende la division euclidienne s’écrit

P(X) = Q(X) (X³ - X) + aX² + bX + c

Et en faisant successivement X = 0 ,1 et -1 on a les équations

c = P(0) = 0 , a + b + c = P(1) = 5 et a – b + c = P(-1) = -5

C'est-à-dire a = 0 , b = 5 et c = 0
Le reste cherché est donc R(X) = 5X sauf erreur bien entendu

salam tt le monde
solution postée
voici la solution d'aissasalut tout le monde:
on a x^3=x mod(x^3-x)
donc : x^9=( x^3)^3=x mod(x^3 -x)
x^81=(x^9)^9=x mod(x^3-x)
x^49= (x^3)^16 *x
= (x^9)*(x^3)*(x^3)**x^2 mod(x^3 -x)
=x mod(x^3 -x)
x^25 = x mod(x^3 -x)
donc : P(x)=x^81+x^49 + x^25 +x^9 +x = 5x mod(x^3 -x=)
alors : est le reste de la division euclidienne de 5x P(x) par x^3 -x


ce qu'on comprend bien , c'est ce qu'on comprend par soi meme.

Bonjour!

Solution postée.
voici la solution de Kendor.

Soit le polynôme A=X^81+X^49+X^25+X^9+X

A(X)=somme (n=0 à 4) de X^((2n+1)^2)

Soit B=X^3-X

Soit Q=a_nX^n+a_(n-1)X^(n-1)+….+a_1X+a_0

Le reste R de la division de A par B est nécessairement de degré au plus 2.

Soit R=aX^2+bX+c



A=BQ+R entraîne :

A(X)=a_nX^(n+3)+a_(n+1)X^(n+2)+somme (k=0 à 76) de (a_k-a_(k+2))X^(k+3)+(a-a_1)X^2+(b-a_0)X+c



Par identification, on trouve :

a_78=1

a_77=0

a_k-a_(k+2)=1 pour k dans {6,22,46}

a_k-a_(k+2)=0 sinon pour k allant de 0 à 76,différent de 6,22,46.

a-a_1=0

b-a_0=1

c=0



Les a_n (n impair) sont nuls, donc a=a_1=0

b=a_0+1



a_78=1

a_76=1

a_46=a_48+1=2

a_22=a_24+1=3

a_6=a_8+1=4

a_0=a_2=4

b=a_0+1=5



Finalement:a=0, b=5, c=0

Et R=5X

Solution Postée
voici la solution de rockabdel

On a A (x)= x^81+x^49+x^25+x^9+x

On doit trouver le reste de la division euclidienne de A(x) par x^3-x donc on doit trouver R(x) tel que :

A(x)=(x^3-x) Q(x) + R(x)

è deg R(x) < 3

è deg R(x) apprt à {2,1,0}



Et on sait que : A(1)=R(1)

A(-1)=R(-1)

A(0)=R(0)

è R(1)=5 è deg R(x) # 0

** R(-1)=-5

R(0)=0



Cas 1 : deg R(x) = 2

R(x)= ax²+bx+c è ( d’après **) a+b+c=5 è a=0 impossible

a-b+c=-5

c=0

Cas 2 : deg R(x) = 1

R(x)= ax +b è (d’après **) a+b=5 è a=5 et b=0 è R(x) = 5x

-a+b=-5

b=0



D’où le reste de la division de x^81+x^49+x^25+x^9+x par x^3-x est 5x.

Bonjour
solution postée
voici la solution de khamathsBonjour Samir

Notons P(x) et D(x) les polynomes en question.
pour x différent de 0; 1 et (-1) ;et en posant: t = x².On a:
P(t) = (t-1) Q(t) + R / R = cste avec P(t)=t^40 +t^24 +t^12 +t^4 + 1
====>R = P(1) = 5
===>le reste de la division euclidienne de P(x) par D(x) est : 5

solution postee
voici la solution de Kalm
x^81+x^49+x^25+x^9+x divise par x^3-x
<=> x^80+x^48+x^24+x^8+1divise par x²-x
x^80+x^48+x^24+x^8+1 l x²-1
x^78+x^48
l----------------------------------------------------------------------------------------------
..................
x^78+x^76+...+x^48+2x^46+2x^44+...+2x^24+3x^22+3x^20+
x^50+x^48 ...+3x^8+4x^6+4x^4+4x^2+4
2x^48+x^24
2x^46+x^24
..................
2x^26+x^24
3x^24+x^8
.................
3x^10+x^8
4x^8+1
................
4+1=5
donc le reste de la division est 5

bonjour
solution postée
voici la solution d'Abdelilah
bonjour
pour tout polynome p et tous reel a il exist un polynome q tel que:
p(x)=(x-a)q(x)+p(a)
ainsi : si p(x)=x^81 + x^49 + x^25 + x^9 + x
on p(x)=x(x^80 + x^48 + x^24 + x^8 + 1)
et x^80 + x^48 + x^24 + x^8 + 1= (x-1)q(x)+5 (*)
et q(x)=(x+1)R(x)+q(-1)
de (*) on q(-1)=0
d ou le reste est 5x
abdelilah

Salam
solution postée
voici la solution de Mahdi
salam







de la meme façon on trouve que :





alors le reste de la division est : 4x+x²

solution postée
voici la solution de shwartz
le reste R est de degré au plus 2, et 0 est une racine de ce reste
donc il s'ecrit sous la forme ax²+bx, en plus R(1) = 5 et R(-1) = 1,
donc
a+b = 5
a-b = -5
donc a = 0 et b = 5 donc R(x) = 5x