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 problème N°75 de la semaine (02/04/2007-08/04/2007)

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samir
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MessageSujet: problème N°75 de la semaine (02/04/2007-08/04/2007)   Lun 02 Avr 2007, 19:43


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Dernière édition par le Jeu 05 Avr 2007, 09:25, édité 3 fois
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samir
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MessageSujet: Re: problème N°75 de la semaine (02/04/2007-08/04/2007)   Lun 02 Avr 2007, 19:45

salut
chaque participant doit poster sa solution ( format word ) par E-MAIL
amateursmaths@yahoo.fr
(Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée )
puis il poste le message suivant ici "solution postée"
pour plus d'information voir les conditions de participation
Merci

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robalro
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MessageSujet: Re: problème N°75 de la semaine (02/04/2007-08/04/2007)   Mar 03 Avr 2007, 07:35

Bonjour.

Solution postée Very Happy
voici la solution de robalro

Une propriété importante est de connaître la formule valable pour 0 < t < pi

cos(t/4) = V[(1/2)+(1/2).V[(1+cos(t))/2]] où V représente racine carré.

De plus : 1+cos(t) = 2.cos²(t/2)

Notons :

A(n) = 2^n.Arccos(D(n))

On cherche à exprimer D(n).

Or par récurence, on montre facilement que D(n) = 1/2^n

En effet on part pour cela de "la droite"

En appliquant la formule :

cos(1/4) = V[(1/2)+(1/2).V[(1+cos(1))/2]]

et ensuite :

V[(1/2)+(1/2).cos(1/4)] = V(cos²(1/Cool) = cos(1/Cool = cos(1/2^3) car 0 < 1/8 < pi/2

...

Ainsi, on en déduit que :

A(n) = 2^n.Arccos(cos(1/2^n)) = 2^n/2^n = 1

car 0 < 1/2^n < pi pour tout n !!

On peut vérifier en prenant n = 2 :

A(2) = 2^2.Arccos(V((1/2)+(1/2).V(cos(1/2))) = 2^2.Arccos(cos(1/4)) = 1

Bonne journée et merci pour l'énigme
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samir
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MessageSujet: Re: problème N°75 de la semaine (02/04/2007-08/04/2007)   Jeu 05 Avr 2007, 09:30

il y'avait une erreur (faute de frappe) dans l'enoncé et c'est corrigé

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anass.karkouri
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MessageSujet: Re: problème N°75 de la semaine (02/04/2007-08/04/2007)   Jeu 05 Avr 2007, 15:44

solution postée
Ma premiere
voici la solution d'anass
On utilise cosa=( ½ (1+cos2a))^(1/2) (c’est la clé)

On trouve A=1
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crazyharrypotter
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MessageSujet: Re: problème N°75 de la semaine (02/04/2007-08/04/2007)   Jeu 05 Avr 2007, 16:24

Embarassed qu est ce que c est Arc dans "Arc cos"
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relena
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MessageSujet: Re: problème N°75 de la semaine (02/04/2007-08/04/2007)   Jeu 05 Avr 2007, 16:54

salut
j'aimerai savoir si c'est pour TCS Question
Shocked
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saad007
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MessageSujet: Re: problème N°75 de la semaine (02/04/2007-08/04/2007)   Jeu 05 Avr 2007, 18:33

crazyharrypotter a écrit:
Embarassed qu est ce que c est Arc dans "Arc cos"

salut bein f^-1(cos x)=arccosx et c pour terminal
voici la solution de G-UNIT_AKON:

on a

alors

la meme chose pour l'autre racine
...................
jusqu'a le dernier ou on trouve



alors

et alors

merci
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Weierstrass
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MessageSujet: Re: problème N°75 de la semaine (02/04/2007-08/04/2007)   Jeu 05 Avr 2007, 19:18

Salam

Solution postée king
voici la solution de Mahdi
On sait que :

On remplace dans A_n
par

et ainsi de suite
Enfin on obtient :
Alors : A_n=1/2
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selfrespect
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MessageSujet: Re: problème N°75 de la semaine (02/04/2007-08/04/2007)   Jeu 05 Avr 2007, 19:27

salut ,lol!

Solution postée
voiçi la solution de selfrespect

*on sait bien que qq soit x de R cos(x)+1=2sin²(x/2)
on considerant x=1/2
on truve aisement que N=(2^n)arcos(0.5+rac(0.5+.......))=(2^n)arccos((cos(1/2^n))=2^n/2^(n+1)=1/2
alors N=1/2
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digital_brain
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MessageSujet: Re: problème N°75 de la semaine (02/04/2007-08/04/2007)   Ven 06 Avr 2007, 12:20

solution postée

c etait trivial
voici la solution de digital_brain

voici la solution

sin(a/2)=sqrt(1/2+1/2cos(a))
on utilisons cette propriete n fois

on obtiendra

An=2^nArcos(sin((1/2)^n+1))
=2^n(sqrt(1-(1/2)^2n))
=sqrt(2^(2n)-1)
a propos de la solution du probleme de la semaine
j avais une erreur dans la formule trigonometrique

voici la rectification

cos(a/2)=sqrt(1/2+1/2cos(a))
on utilisons cette propriete n fois

on obtiendra

An=2^nArcos(cos((1/2)^n+1))
=2^n(1/2^(n)+1))
=1+2^n
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Alaoui.Omar
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MessageSujet: Re: problème N°75 de la semaine (02/04/2007-08/04/2007)   Ven 06 Avr 2007, 14:18

SLt
solution postée:)
voici la solution de bestfriend
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magus
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MessageSujet: Re: problème N°75 de la semaine (02/04/2007-08/04/2007)   Ven 06 Avr 2007, 17:57

salut tout le monde,
Solution postée
voici la solution de magus


on a: cos(1/2)=cos(2(1/4))=2cos²(1/4)-1

donc:(1/2)+(1/2)(cos(1/2))=1/2+cos²(1/4)-1/2=cos²(1/4)

alors dans la premiere racine on a

et dans la deuxiéme on a:

et dans le troisième on a:

et c'est ainsi jusqu'à..............................le nième racine:

on y trouvera:

et enfin:

désolé pour le derangement Embarassed


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Raa23
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MessageSujet: Re: problème N°75 de la semaine (02/04/2007-08/04/2007)   Sam 07 Avr 2007, 17:13

Solution postée
voici la solution de Raa23
Solution :
cos(2x)=2cos(x)^2-1
donc ½*(cos(x)+1)=cos(x/2)^2
½^n < Pi/2 donc les cosinus est positif
Par suite

A=2^n*Arccos(cos(1/2^n)=1
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aissa
Modérateur


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MessageSujet: problème N°75   Sam 07 Avr 2007, 21:01

salam
solution postée
voici la solution d'aissa

Salut tout le monde :
An=2nArccos(un) avec , un= n fois racine
On a : un+1= et u1 = cos(1/4) alors : un = cos(1/2n+1)
donc : An = 1/2
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FERMAT
Modérateur


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MessageSujet: Re: problème N°75 de la semaine (02/04/2007-08/04/2007)   Dim 08 Avr 2007, 12:59

solution postée
voici la solution de FERMAT
il suffit de remarquer que 1+cosx=2cos²(x/2)

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les math c la seul science ou on ne c pas de quoi on parle ni ce qu on di est vrai
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radouane_BNE
Modérateur
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MessageSujet: Re: problème N°75 de la semaine (02/04/2007-08/04/2007)   Dim 08 Avr 2007, 17:34

solution postée
voici la solution de Boukharfane radouane
on sait que cosx=2cos²x/2-1 et que pour tout n appartenant à IN on a cos 1/2^n>=0 puisque qqe soit n de IN on a 0=<1/2^n=<pi/2.
en utulisant ses deux remarques n fois on arrive à conclure que l'expression demandée est équivaut à 1/2.
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MessageSujet: Re: problème N°75 de la semaine (02/04/2007-08/04/2007)   

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