Bonjour ;
On a : f ' (x) = (a(1+bx)ln(1+bx) - b(1+ax)ln(1+ax))/((1+ax)(1+bx)ln²(1+bx)) .
Pour tout x appartenant à R*+ , (1+ax)(1+bx)ln²(1+bx) > 0 ;
donc il reste à déterminer le signe de a(1+bx)ln(1+bx) - b(1+ax)ln(1+ax) sur R*+ .
Soit g la fonction définie sur R*+ telle que pour tout x appartenant à R*+ on a :
g(x) = a(1+bx)ln(1+bx) - b(1+ax)ln(1+ax) .
On a : g'(x) = ab ln((1+bx)/(1+ax)) > 0 ;
donc : g est strictement croissante sur R*+ ;
et comme on a : lim(x--> 0+) g(x) = 0 ;
donc : pour tout x appartenant à R*+ , g(x) > 0 ;
donc : pour tout x appartenant à R*+ , f ' (x) > 0 ;
donc : f est strictement croissante sur R*+ ;
donc comme on a : 0 < 1/b =< 1/a , alors on a : f(1/b) =< f(1/a) ;
donc on a : ln(1+a/b)/ln(2) =< ln(2)/ln(1+b/a) ;
donc : ln(1+a/b) ln(1+b/a) =< ln²(2) : CQFD .
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