olympiade TC help

voila4 exercices d'olympiade de TC, aidez moi à les faire!
1)C et C' sont 2 cercles qui ont le mémé centre mais de rayon différents.
(d1) demi droite ( أصلها o ) et coupe C et C' dans A et B successivement.
(d2) demi droite ( أصلها o ) ((d1) عمودية على) qui coupe C et C' en A' et B'.
(D) est متوسطdu triangle OAB' qui passe par o.
démontre que (D) est une hauteur du triangle OA'B.

2)A B C et D sont des points du cercle T(o,r) tel que (AB) et (CD)sont perpendiculaires en I.
la droite parallèle de (CD) et passant par B coupe le cercle en B'.
a)prouve que AC²+BD²=4r²
b) calcule IA²+IB²+IC²+ID²

3) ABC est un triangle, I est le mileu du segment BC et J le miliu de AC.
M est un point du segment AI et M' est symétrique à M par rapport à J.
la droite passant par M' et parallèlle de (IJ) coupe BC e P.
démontre que (MP) est parallèlle à (AC).

4)le plan "mansoub" à un repère mota3amed wa moumandam.
(E) est l'ensemble d points M(x;y) tel que:
(sina)x-(cosa)y+p>=0
sin(a+pi/3)x-cos(a+pi/3)y=<0 p>0 et pi/3

Une figure pour le 1

MERCI abdelilah ,
"démontrer que (D) est une hauteur du triangle OA'B."
je note G l'intersection de (D) est (A'B) , et S le milieu de A'B'.
montrons que [OG] est une hauteur ,
il suffit de montrer que :
OG.A'B=0 ( vecteur)
c a d OS.A'B=0
on a
OS.A'B=0.5(OA+OB').A'B=0 (OS=0.5(OA+OB'))
=0.5 (OA.A'B+OB'.A'B)
OA.A'B={OA}.{OB} et OB'.A'B={A'O}.{OB'} ({} mesure algebrique)
et maintenant remarquer que
{A'O}.{OB'}=-Rr et {OA}.{OB}=Rr ( les rayons des cercles grand et ptit)
d'ou
OS.A'B=0.5(OA+OB').A'B=0 (OS=0.5(OA+OB'))
=0.5 (OA.A'B+OB'.A'B
=0
alors (OS) et (A'B) sont perpendiculaire ==> [OG] est une hauteur !