Très joli. - Test de sélection de l'équipe iranienne.

Soient a_1, a_2, ..., a_n des nombres réels. Montrer que :

.

par recurage!
n=2
|a1+a1|+|a1+a2|+|a2+a1|+|a2+a2|=2(|a1|+|a2|)+2|a1+a2|
>=2(|a1|+|a2|)

.....

Et ensuite?
Pour le cas n=2, ok, mais ensuite, comment tu fais pour l'hérédité?

salut,

je crois pas que la recurrence suffira .

personnelement,je ne pense pas que ça sera façile de la prouver.

n=3 ( juste pour avoir une idée)
|a1+a1|+|a1+a2|+|a1+a3|+|a2+a1|+|a2+a2|+|a2+a3|+|a3+a1|+|a3+a2|+|a3+a3|=2(|a1|+|a2|+|a3|)+2(|a1+a2|+|a1+a3|+|a2+a3|)

si les ai sont de même signe l'inégalité est évidente. Sinon on peut se ramener à a1=<0=<a2=<a3.

si 0=<-a1=<a2=<a3
|a1+a2|+|a1+a3|+|a2+a3|=2( a1+a2+a3)
et 2(|a1|+|a2|+|a3|)+2(|a1+a2|+|a1+a3|+|a2+a3|) = 2a1+6a2+6a3
>= 3(-a1+a2+a3) car 3( a2+a3 )>-6a1>-5a1

si 0=<a2=<-a1=<a3
|a1+a2|+|a1+a3|+|a2+a3|=2a3
et 2(|a1|+|a2|+|a3|)+2(|a1+a2|+|a1+a3|+|a2+a3|) = 2(-a1+a2)+5a3
>=3(-a1+a2+a3) car 2a2+2a3>-a1

si 0=<a2=<a3=<-a1
|a1+a2|+|a1+a3|+|a2+a3|=-2a1
et 2(|a1|+|a2|+|a3|)+2(|a1+a2|+|a1+a3|+|a2+a3|) =-6a1+2a2+2a3
>=3(-a1+a2+a3) car -3a1>=a2+a3

Bonjour;
Je crois que la récurrence peut aboutir:
(*)On vérifie facilement que c'est vrai pour n=1 et n=2.
(*)On suppose que c'est vrai pour n et n-1 (n>1)
soit a1,a2,..,an et an+1 n+1 réels on pose
F(a1,a2,..,an,an+1)=(Sigma_{1=<i,j=<n+1}|ai+aj|)-(n+1)Sigma{1=<i=<n+1}|ai|
on fixe a1,a2,..,an et on considére la fonction
f(x)=F(a1,a2,..,an,x)
f est:
(-)continue affine par morceaux (les extrémités des morceaus étant -a1,-a2,..,-an et 0 dans l'ordre qui s'impose).
(-)tendant vers + oo en +/-oo (facile à voir).
ainsi pour que f soit positive il suffit que f(0),f(-a1),..,f(-an) le soient:
f(0)>=0 par hypothése de récurrence au rang n.
f(-ak)>=0 il suffit de développer en utilisant l'hpothése de récurrence au rang n-1 et en remarquant que
|ai+ak|+|ai-ak|=max(2|ai|,2|ak|)