problème N°134 (19/05/2008-25/05/2008)

salut
chaque participant doit poster sa solution ( format word ) par E-MAIL
amateursmaths@yahoo.fr
(Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée )
puis il poste le message suivant ici "solution postée"
pour plus d'information voir les conditions de participation
Merci

solution postée.
voici la solution de selfrespect
sachant que si p un nbr premier >=5 alors p premier <=> p=1[6] ou p=-1[6].on deduit quye si n+1 et n-1 premier alors n=6k.
on en deduit que 120 devise n²(n²+16)=120k²(9k²+4)
reste a montrer que 5 devise k²(9k²+4)
> si k=0[5) c terminé.
> si k#0[5] alors on revient :
n-1 et n+1 sont premiers==> k=+2,-2[5] ==>5 devise 9k²+4 et c'est terminé.
enfin 720=120*5 devise n²(n²+16).
reciproquement.pour n=720 , n+1 n'est po premier.
a+

solution postée
voici la solution d'abdelbaki.attioui
Bonjour, soit N=n²(n²+16). Comme n>6 , n-1 et n+1 premiers ==> n>11
On effectue la div. Eucl. de n (resp) par 3,4 et 5. Puis on garde que les restes
qui donnent n-1 et n+1 premiers.
n=3k+r avec k>1 et r=0 ==> 9 divise N
n=4k+r avec k>1 et r €{0,2} ==> r²(r²+16) €{0,80} ==> 16 divise N
n=5k+r avec k>1 et r €{0,2,3} ==> r²(r²+16) €{0,80,225} ==> 5 divise N
Donc, 720= 16*9*5 divise N.
Inversement, si 720 divise N on n'a pas forcement n-1 et n+1 premiers, il suffit de prendre n=720

A+

solution postée
pour prouver que 720 / n^2(n^2+16)
premierement on remarque que n est pair (n+1 et n-1 sont impairs puisque ils sont >2 et premiers)

preuve de 16/n^2(n^2+16)
n=2k / k appartient a Z
donc n^2=4k^2 puis n^2+16=4(k^2+4) ensuite n^2(n^2+16)=16 k^2(k^2+4) donc 16/n^2(n^2+16)

preuve de 5/n^2(n^2+16)
les restes de la division euclidiens de n^2 sur 5
n^2(n^2+16)=0[5] ou n^2(n^2+16)=2[5] ce deuxieme cas est faux du faite que n est pair et n+1 et n-1 sont premiers donc 5/ n^2(n^2+16)

de la meme façon on prouve que 9/n^2(n^2+16)
on 16/n^2(n^2+16) et 9/n^2(n^2+16) et 9^16=1 d'apres gauss on trouve que 144/n^2(n^2+16)
et de la meme façon 144/n^2(n^2+16) et 5/ n^2(n^2+16) et 144^5=1 donc d'apres gauss 720 / n^2(n^2+16)
pour la 2 question
n=90 cela donne une contradiction