Integrale et limite

calculer la limite

Sigma(k=1,n)tg(1/(n+k)) qd n tend vers l'infini

elle est où l'integrale?

on l'utilisera afin de calculer la limite

rockabdel a écrit:

calculer la limite
Sigma(k=1,n)tg(1/(n+k)) qd n tend vers l'infini

BJR à Toutes et Tous !!
Il me semble bien qu'il faille rectifier ton écriture rockabdel !!
En effet , une façon de connecter une Limite comme celle que tu as proposée et une Intégrale Définie c'est de penser aux
Sommes de Darboux-Riemann !!!!
Une première suggestion de correction d'énoncé serait de considérer :
la limite quand n-----------> +oo de
SIGMA {k=0 à n ; (1/n).Tan{n/(n+k)}}
qui serait égale à l'intégrale définie PAS TRES GENTILLE :
INT{0 à 1 ; Tan{1/(1+x)}.dx }
que je ne sais pas calculer d'ailleurs !!!!
A moins que ce soit une autre rectification à faire ???!!!

Oeil_de_Lynx a écrit:

rockabdel a écrit:

calculer la limite
Sigma(k=1,n)tg(1/(n+k)) qd n tend vers l'infini

BJR à Toutes et Tous !!
Il me semble bien qu'il faille rectifier ton écriture rockabdel !!
En effet , une façon de connecter une Limite comme celle que tu as proposée et une Intégrale Définie c'est de penser aux
Sommes de Darboux-Riemann !!!!
Une première suggestion de correction d'énoncé serait de considérer :
la limite quand n-----------> +oo de
SIGMA {k=0 à n ; (1/n).Tan{n/(n+k)}}
qui serait égale à l'intégrale définie PAS TRES GENTILLE :
INT{0 à 1 ; Tan{1/(1+x)}.dx }
que je ne sais pas calculer d'ailleurs !!!!
A moins que ce soit une autre rectification à faire ???!!!

NN C'est bi1 cela l'enoncé, je l'ai eu d'un livre sur l'integration, et qui plus donne le resultat final ( sans methode) ""ln2""

rockabdel a écrit:

calculer la limite

Sigma(k=1,n)tg(1/(n+k)) qd n tend vers l'infini

A la lumière de ton résultat ( "Ln2" ) , il semble cette fois qu'il y a une ERREUR dans le Livre ( ce n'est pas étonnant , c'est même COURANT ) !!
Je crois qu'il s'agit là de l'énoncé suivant :
Déterminer la limite quand
n------>+oo de Sigma(k=1 à n ; (1/(n+k))
Il n'y a pas le tg !!! ( Pour moi , c'est tangente n'est-ce pas !! )
Alors là , effectivement , c'est une Somme de Darboux-Riemann ; il suffit de la réécrire ainsi :
Sigma(k=1 à n; (1/(n+k)) =Sigma(k=1 à n ; (1/n).(1/(1+(k/n)))
La fonction f c'est x------> f(x)=1/(1+x) définie sur [0;1]
et la limite cherchée serait alors :
INT{0 à 1 ; f(x).dx }=Ln(1+x) à prendre entre 0 et 1 = Ln2

VOILA LE MYSTERE PERCE !!!!

Bonsoir

on pose Un = sigma(k=1,n)tg(1/n+k)

on pose f(x) = tan(x) - x d'ou f'(x) = tan²(x) >= 0

et donc pour tout k de 1 -> n . on a : f(0) < f(1/n+k) =< f(1/n)

donc 0 < f(1/n+k) =< f(1/n) => 0 < sigma(k=1,n) f(1/n+k) =< nf(1/n)

je pose Vn = sigma(k=1,n) 1/(n+k)

donc 0 < Un-Vn =< ntan(1/n) - 1 d'ou : IUn-VnI =< ntan(1/n) - 1

puisque lim n->+00 ntan(1/n) - 1 = lim n->+00 tan(1/n)/(1/n) - 1 = 0

donc limn->(n->+00) (Un) = lim (n->+00) (Vn) = ln 2 car :



Ps : lideé de considérer Vn m'est venue du résultat ln 2

Conan a écrit:

Bonsoir

on pose Un = sigma(k=1,n)tg(1/n+k)

on pose f(x) = tan(x) - x d'ou f'(x) = tan²(x) >= 0

et donc pour tout k de 1 -> n . on a : f(0) < f(1/n+k) =< f(1/n)

donc 0 < f(1/n+k) =< f(1/n) => 0 < sigma(k=1,n) f(1/n+k) =< nf(1/n)

je pose Vn = sigma(k=1,n) 1/(n+k)

donc 0 < Un-Vn =< ntan(1/n) - 1 d'ou : IUn-VnI =< ntan(1/n) - 1

puisque lim n->+00 ntan(1/n) - 1 = lim n->+00 tan(1/n)/(1/n) - 1 = 0

donc limn->(n->+00) (Un) = lim (n->+00) (Vn) = ln 2 car :



Ps : lideé de considérer Vn m'est venue du résultat ln 2

Wi j'ai fait la mm methode mais a partir du resultat, je ne crois pas qu'il ya une autre