Ca c'est très très laid quand même.. mais c'est très intéressant aussi.
Tout ce que je peux dire est que, f étant dérivable au sens complexe et ayant une différentielle dont le jacobien est |f'(z)|², l'aire de f(D) (en fait, il va falloir se résumer à des compacts qui approchent D très bien; argument très pénible) est, par changement de variable (ici c'est très délicat car on ne suppose pas que la différentielle ne s'annule pas, donc on ne peut pas faire ça directement; mais bon, enfin) l'intégrale sur D de |f'(z)|².
Et cela en polaires va donner un truc du genre somme de n|a_n|², si je ne m'abuse. (il doit y avoir Parseval quelque part)
Bon, sauf que comme j'ai dit il va falloir se résumer à des cercles de rayon r centrés à l'origine.
Et on aura convergence de la série de terme general nr^{2n}|a_n|².
Il s'agit donc de voir si le fait que cette série converge entraîne des jolies choses sur la conclusion.
Et ici il doit y avoir l'ami Cauchy-Schwartz, car je vois déjà (je n'ai pas de crayon, je ne suis pas sûr de toute cette histoire) une somme de r^{2n}{n} comme fraction et qui vaut -ln(1-r^2).
Donc la partie très difficile est la première, montrer qu'effectivement on peut changer de variable et pour cela je n'ai vraiment aucune idée si on ne suppose pas f injective ou des trucs comme ça.
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