équation

trouver toutes les fonctions f:IR+--->IR+ telles que:
f(x+y)-f(x-y)=4rac(f(x)f(y)) pour tout x>y>0.

la fonction est la seule :
f(x)=x² et la demo. je l'envoyer prochainement autant que je le tape en LaTex

une faute de tape:
f(x)=ax² avec a£IR+

j'ai résolu ce problem mais il me semble que c'est si dur trés long!j'attend la solution de mathéma et voir si s'elle est courte,j'éspere!

Il suffit de montrer que f est dérivable sur IR+!!

tu peux le faire exodian je veux plus comment faire cela!

je ne sais pas si c utile ou nn , mé je crois que exodian veut dire ceci :

on sait que x+y > x-y et que 4V(f(x)f(y))>0

donc f(x+y)-f(x-y)>0

donc forcement f doit etre strictement croissante , ce qui fait que si f est derivable donc f'(x) est strictement positif.

la jsé pa plus

je pense que f'(x)>0 ==> f croissante
et ne pas f croissante ==> f'(x)>0 !!

J'éspère que vous apporteriez à ma démo ce qu'il lui manque!!
Certes il y a des problèmes de continuité, mais je pense que c'est assez facile à résoudre.

je pense pas que c'et facils à résoudre le problème de continuité!(voire la ligne 8 de ta démonstration,tu peux pas le faire sans la conditions de la continuité) ,je me demande juste à éxodian de me rappeler si une fontions est antisymétriqment dérivable alors il est dérivable!

1*montrons que f est croissante;
x=(a+b)/2,y=(a-b)/2 avec a>b>0 alors f(a)-f(b)=2Vf((a+b)/2*f((a-b)/2))>0 d'où f est strictement croissante.

2*montrons que lim(x--->0)f(x)=0.
soit P=inf(f(x),x£IR+) cet ensemble existe (la croissante et >0) alors on pose lim(x-->0)f(x)=e.
x=2y ==> f(3y)-f(y)=2Vf(2y)f(y) ==>e=0.

3* facilemnt on a f(2x)=2f(x) et donc f est continue (prouver ça sachant que f est continu en 0)

....à suivre!

Yes, perhaps I've made a big big mistake!! Thanks Radouane
Toutefois si f est dérivable on peut trouver facilement la solution.
Voila une des propriétés qu'on peut ajuster à cet exo et que je laisse d'ailleurs à titre d'exercice!:

je veux bien envoyer ma solution mais je trouve toujours des errors sur la page ((pour les solution images))

Salut mathema, votre solution m'interesse beaucoup. J'éspère que vous la posteriez bientôt. Merci.

d'accords j'essyerai je l'envoyer prchainement

j'ai resolu ce probleme mais avec x>=y>=0

- x=y=0 f(x)=0
- x=y f(2x)=4f(x)
f(x+y)-f(x-y)=4rac(f(x)f(y))

==> [f(x+y)-f(x-y)]²=4(4(f(x)f(y)))

=4[(f(x)+f(y))²-(f(x)-f(y))²] (**)

f(x)-f(y)=4rac(f(x+y)/2)*f((x-y)/2))
=rac[f(x+y)*f(x-y)]

donc (**)==> [f(x+y)-f(x-y)]²=4[(f(x)+f(y))²-f(x+y)*f(x-y)]

===>f(x+y)+f(x-y)=2(f(x)+2f(y))
=4f(x)-2(f(x)-f(y))
=4f(x)-2rac(f(x+y)*f(x-y))

===>(racf(x+y)+rac(f(x-y))²=4f(x)=f(2x)

posant g(x)=rac(f(x))

g(x+y)+g(x-y)=g(2x)

a=x+y et b=x-y donc g(a)+g(b)=g(a+b)

donc pour tt x£Q g(x)=c*x (c>=0)


on f croissant donc g aussi croissant

supposant qu'il exsiste (x£R-Q) g(x)=cx+m

(il existe x0£Q) x<x0<x+m/c (pour m>0)

cx<cx0<cx+m
g(x0)=cx0<cx+m=g(x)

donc g(x0)<g(x) ce qui est imposible car g est croissant la mm chose pour m<0

donc on peut passer de Q au R g(x)=cx ==> f(x)=c²x²


si quelqu'un peut demontrer ce qui est en gras seulement avec x>y>0

Je poste ma solution demain !

Alors comme promis , voici ma solution :

En remplaçant x par y on obtient : f(2x)=4f(x) , en faisant un petit changement de variable (Z=X/2) on obtient :

f(x)=4f(X/2) (E)

Posons g(X)=f(2^X) (c'est ça le coeur de la démo !! ) , on a alors :

f(X)=g( lnX/ln2) donc f(X/2)= g( (lnX/2)/ln2)=g( (lnx/ln2)-1)

DONC : (E) est équivalente à :

g( lnX/ln2)= 4* g( (lnx/ln2)-1) (A)

En posant Z=lnX/ln2 ,on obtient une equation du type : g(Z)=4*g(Z-1)
dont la solution est bien évidemment : g(Z)=C*(4^Z) (C constante )

Puisque f(X)=g( lnX/ln2) on a : f(X)= C*4^(lnX/ln2)= C*x^2
(On s'assure après que f vérifie bien l'equation du départ )
FIN !
(J'ai pensé a une autre méthode qui tient en deux , trois lignes , je vous la poste après demain au plutard : )

J'avais pensé à une seconde solution assez simple, la voici:

en prenant x=y on obtient : f(2x)=4*f(x)
Je vais essayer de résoudre l'equ en couleur en passant par le cas général avec une equation a deux variables x et y :
f(xy)=(y^k)*f(x) avec k dans N
il est clair qu'en prenant x=1 , on obtient f(y)=(y^k)*f(1) on pose f(1)=C (constante dans R) , les solutions de cette equation générale sont :
f(x)=C*(x^k)

EN prenant y=2 et k=2 dans l'equation en bleu ; on obtient exactement l'equation en rouge qui a donc comme solutions: f(x)=C*(x^2)
(il est bien évident qu'on a juste montré que si f était solution de l'equation elle s'écrirait sous la forme trouvée , mais il faut vérifier avec de simples calculs que si f est de la forme trouvée , elle est solution de l'equation pour vérifier l'equivalence)

FIN!(sauf erreur ^^ )