Equations diophantiennes

Je vous propose un exercice que j'ai inventé :

Démontrer qu'il existe une infinité de rationnels k, non cubes parfaits, tels que l'équation

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admette une infinité de solutions en (x,y,z) € (Q*)^3

Et d'autres équations que je n'ai pas crées parcontre :

- Soient (x, y, z, t) € {Z}^{3}. Montrer que l'équation x^{3}+y^{3}+z^{3}+t^{3}=3 admet une infinité de solutions dans Z^3.

- Soient (a, b, c){N}^*^3. Montrer que l'équation a^{3}+b^{5}=c^{2} admet une infinité de solutions dans N^*^3

- Soient (a, b, c) € N^*^3. Montrer que l'équation a^{15}+b^{15}= c^{16} admet une infinité de solutions dans N^*^3

Comme réponse à l exo que tu as inventé, je propose ce qui suit :
Pour tous a et b premiers strictement supérieurs à 3:
k=-3ab(a+b) n est pas un cube parfait et de plus :
k=-3ab(a+b) = a^3+b^3+(-a-b)^3
d'ou le résultat !

"=-3ab(a+b) n est pas un cube parfait"

Faux ! Prends a = -1 et b = -8 ça donne 216 = 6^3

sauf que -1 et -8 ne sont pas des nombres premiers supérieurs à 3
j'ai dit que "a et b sont des nombres premiers "

J'avais pas vu, mais le problème c'est que mon exercice est dans Q, donc a et b sont des rationnels et non forcément entier premiers

les nombres premiers appartiennent à Q parce que N est incluse dans Q

Oui, mais je veux dire qu'on peut très bien avoir k = 1/16, qui n'est pas un nombre premier. Ici si a et b sont entiers premiers, -3ab(a + b) ne peut être rationnel, ce qui restreint les solutions à Z.

En fait une solution plus correcte serait :



pour tout (a,n) € Q^*², ce qui assure bien l'existence d'une infinité de k non cube parfait tels que l'équation admette une infinité de solutions en (x,y,z) € Q^*^3

C'est clair que t'as pas encore fait "la logique".
Vu les connecteurs logiques que tu as mentionnés dans l'énoncé, ma solution répond parfaitement à ton problème...

Je veux bien admettre que ta solution soit juste dans Z, mais je ne vois pas comment ta solution démontre que x^3 + y^3 + z^3 = 1/256 (avec a = 1/2) admet une infinité de solutions.

ça c'est un deuxième problème qui n 'a rien à voir avec ton premier problème!

Ok désolé, après réflexion, c'est correct ;-). Parcontre si je rajoute "rationnel non entier relatifs" ta solution ne marche plus

Lool, je suis vraiment désolé, j'ai pas bien lu ton énoncé, le problème que j'ai résolu est le suivant :

Démontrer qu'il existe une infinité de rationnels k, non cubes parfaits, tels que l'équation
x^3+y^3+z^3=k
admette une solution en (x,y,z) € (Q*)^3

ce problème n'a rien à voir avec ton problème.
Effectivement ma solution ne marche pas !

Ah non non ta solution est correcte, je disais juste si je rajoutais "rationnels nonr elatifs" ta solution ne marchait pas

nan elle n est pas correcte. je suis désolé. lol. la on a inteversé le role.
En fait, J'ai mal lu l'énoncé donc pour chaque k, je trouve une solution mais l'exercice veut une infinité de solutions !
je sais pas si tu vois ce que je raconte !

Oui je vois :-) ^^

(Soient (x, y, z, t) € {Z}^{3}. Montrer que l'équation x^{3}+y^{3}+z^{3}+t^{3}=3 admet une infinité de solutions dans Z^3.)
pour ta 2eme equation c juste deduction de ta 1 ere equation : ((1+6n^3);(1-6n^3);-6n²;1) convient !

Bien vu ;-) Je n'avais pas fait attention