Bonjour,
1) si a=0 [p], alors, tout n=0[p] répond à la question
2) si a différent de 0 modulo p, alors écrivons n = k(p-1)+r. Dans ces conditions :
a^n = a^r (a^(p-1))^k = a^r [p] et n = r - k [p]
Donc, pour avoir a^n = n [p], il faut a^r = r - k [p], soit k = r - a^r [p]
Je résume : a^n = n [p] avec p premier et a différent de 0 modulo p ==> il existe m et r tq n = (r - a^r + m*p)(p-1) + r
On vérifie aisément que cette condition nécessaire est suffisante.
La réponse est donc :
Si a = 0 [p], tout n = m*p répond à la question
Si a est différent de 0 [p], tout n = (r - a^r + m*p)(p-1) + r = p(p-1)m + p*r-a^(r+1), avec m et r quelconques répond à la question.
Example : p = 3, a = 2
Les solutions sont de la forme 6m + 3r - 2^(r+1), soit 6u+4 et 6u+5
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Patrick
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