combien ya t il de rectangles?

trouvez le nombre de rectangles qu'on peut obtenir a partir d'un tableau a n ligne et m colone en fonction de n et m

mn(m+1)(n+1)/4

OUI c bien ca
(1+2+...+n)(1+2+...+m)

demonstration ??

on defini un rectangle par ses projections horizontal et vertical
si on fé la projection horizontal du rectangle on peu obtenir 1+2+...+m projections
et si on la fé verticalment on va obtenir 1+2+...+n projections ce ki veu dir k on a (1+2+...+m)(1+2+...+n) rectangles ce ki é equivalent a:
mn(m+1)(n+1)/4

Nouvelle question: remplacr rectangles par des carrées.

si m et sup a n alors le nombre de carré est egale a:
mn+(m-1)(n-1)+(m-2)(n-2)+...+(m-n+1)
pr m inf a n ca devient l'inverse

je pense que le nombre est

dans un axe connu
on remarque que chaque rectancle est definit par deux point
...

si on commence par definir chaque rectangle par 2 point (n'appartenant pa a la meme droite)on va trouver ke le nombre de rectangles est egale a :
C((m+1)(n+1);2)-(n+1)(C(m+1;2)-(m+1))-(m+1)(C(n+1;2)-(n+1))
et c la meme

salut les amis moi j'ai trouvé que le nombre des carrés est : sigma de 0 à n-1 de (n-i)² :
voilà ma demonstration :
dans le carré du coté n divisés en petits carré de coté 1 on peut et on peut seulement former :
1/des carré de coté 1
2/des carré de coté 2
......
n/des carré de coté n


alors le nombre des carré est la somme des nombre de carrées dans chaque cas :

1/ le nombre des carré de coté 1 égale à n² ( n² = (n-0)² )
2/ le nombre des carré de coté 2 égale à (n-1)²
3/ le nombre des carré de coté 3 égale à (n-2)²
......
n/ le nombre des carré de coté n égale à (n-(n-1))²

alors : le nombre totale des carrés qu'on peut former est sigma de 0 à n-1 de (n-i)²

non monsieur c fo
parceke ta pris un tableau a n ligne et n colone
alor kil fo le prendre a n ligne et m colone (kelke soit m et n)

ah oui je croiyais que c'était un carré dévisé
tu as d'autres exos de combinatoire à la poche ?

preuve
soit un rectangle de L=m et l=n
divison ce rectangle en axe X_k de cette direction par example /
reamrquer que chaque axe contient k points
on remarque qu on peut definir chaque rectangle par deux points (#) et seulement de cette axe alors denombrons le nombres de rectangle obtenus d un axe X_k
on remarque qu il ya deux types d axes
1)X_k tel que k<n ; il ya C(2.k) possiblité de choisir deus points cad avoir un rectangle.)
2)X_n il y on m-n+1 axes dans chaqun d eux il ya C(2;n) facon d avoir un rectangle)
le nombre du rectangle obtenus du 1 type est

et le nombres de triangle obtenu du 2eme type est

alors le nombre du triagle est

Ps:tel que
et

Bonsoir ;
*Un rectangle est totalement déterminé par la donnée d'une paire
de droites horizontales et d'une paire de droites verticales
et comme il y'a (n+1) droites horizontales et (m+1) droites verticales
on voit que le nombre total de rectangles est C²n+1.C²m+1 = n(n+1)m(m+1)/4
*Le côté i d'un carré (non réduit à un point) prend les valeurs entières
de 1 à min(n,m) et il y'a exactement (n+1-i) paires de droites horizontales distantes de i
et (m+1-i) paires de droites verticales distantes de i
de ce fait le nombre total de carrés est Sum i=1..min(n,m) (n+1-i)(m+1-i) (sauf erreur bien entendu)

Oumzil a écrit:

salut les amis moi j'ai trouvé que le nombre des carrés est : sigma de 0 à n-1 de (n-i)² :
voilà ma demonstration :
dans le carré du coté n divisés en petits carré de coté 1 on peut et on peut seulement former :
1/des carré de coté 1
2/des carré de coté 2
......
n/des carré de coté n


alors le nombre des carré est la somme des nombre de carrées dans chaque cas :

1/ le nombre des carré de coté 1 égale à n² ( n² = (n-0)² )
2/ le nombre des carré de coté 2 égale à (n-1)²
3/ le nombre des carré de coté 3 égale à (n-2)²
......
n/ le nombre des carré de coté n égale à (n-(n-1))²

alors : le nombre totale des carrés qu'on peut former est sigma de 0 à n-1 de (n-i)²

je crois que le nombre des carré de coté 2 égale à (n/2)² !!! ect...