techniques olympiade:2

slt tout le monde.
je commence cette partie par un petit rappel de ce qu on a fait avant, c est a dire la première technique :

rappel:
x²>0 pour tout x de R
a²+b²>=2ab
a+b>=2rac(ab)

la première technique nous donne la relation entre la somme de 2 nombres (a+b) et leur produit (ab) , cette relation est a+b>=2rac(ab)

question: est ce qu on peut généraliser ce résultat à n nombres ? si oui comment ?
nous commençons cette technique par une petite définition : racine n éme
racine n ème est celui qui absorbe la puissance n éme , ça s écrit ^(1/n)

exemple:
4^(1/2) = (2²)^(1/2) = 2 ( ^(1/2) absorbe le carré )
(6^5)^(1/5)=6 ( ^(1/5) absorbe la puissance 5 ème )

j espère que vous avez compris ce que ça vous dire racine n ème !
ne pas lire la suite si vous avez pas compris cette introduction !

deuxième tachnique: inégalité de la moyenne
(la somme de n nombres) >= n (produit de ces nombres )^(1/n)
mathématiquement :


j espère que vous avez compris cette deuxième technique

Exercices :
1) soit x > 0 , montrer que x+1/x>=2

2) soient a>0 b>0 montrer que a/b+b/a>=2

3)soit a,b,c >0 tel que abc=1
montrer que a+b+c>=3

4)soient a>0 b>0 , montrer que :
a^3/b^3+a²/b²+a/b+b/a+b²/a²+b^3/a^3>=6

5) soient a,b,c et d des réels positifs tels que abcd=1
montrer que a²+b²+c²+d²+ab+bc+cd+ad+ac+bd>=10

6) soient a1,a2,a3,...,an >0 montrer que :
(a1+a2+a3+...+an)(1/a1+1/a2+1/a3+...+1/an)>=n²

7) soient a , b et c >0 tel que abc=1
montrer que (ab+1)/(b+b²)+(bc+1)/(c+c²)+(ca+1)/(a+a²) >=3
indication: essayer de faire apparaitre c en (ab+1)/(b+b²) avant d appliquer la technique ...

8 ) montrer que pour tout n de N, on a :
(n+1)/2 >=(n!)^(1/n)
NB: n!=1*2*3*...*n

9) soient a, b et c des réels positifs, montrer que :
(a+b)(b+c)(c+a)>=8abc

10) soient a, b et c trois réels strictement positifs, montrer que :
1/(a(a+b)) +1/(b(b+c))+1/(c(c+a))>= 27/(2(a+b+c)²)

indication : il faut utliser la moyenne trois fois !

tous ceux qui ont réussi à faire les exos doivent poster leur réponse ( n essayer pas de lire les réponses des autres , essayer de faire ça par vous même ! )

a+

je vè rèpondre aux 3ème kestion car les autre j ai dèja fè dans la première tecnique on a (a+b+c)²=a²+b²+c²+2(ab+bc+ac) et on a a²+b²+c²>=2(a+b+c)-3 ((a²+1>=2a)) et on a ab=1/c et bc=1/a et ac=1/b donc (a+b+c)²>=2(a+1/a +b+1/b +c+1/c)-3 et on a a+1/a +b+1/b +c+1/c>=6 (a+1/a>=2) donc 2(a+1/a +b+1/b +c+1/c)-3>=12-3=9 donc (a+b+c)²>=9 donc a+b+c>=3

1) x + 1/x -2 = (x²+1-2x)/x=(x-1)²/x
x>=0 => x+1/x-2>=0 => x+1/x>=0

2) a/b+b/a-2=(a-b)²/ab

3)saiif

4)a^3/b^3+a²/b²+a/b+b/a+b²/a²+b^3/a^3=a/b+b/a+a²/b²+b²/a²+a^3/b^3+b^3/a^3>=2+2+2>=6

5)a²+b²+c²+d²+ab+bc+cd+ad+ac+bd>=3ab+3cd+ad+ac+bd+bc>=3(ab+1/ab)+ad+1/ad++bd+1/bd>=6+2+2>=10

6)(la somme de n nombres) >= n (produit de ces nombres )^(1/n)

VOUS AVEZ RIEN COMPRIS

ESSAYER D UTLISER LA TECHNIQUE QUE J AI PROPOSE :

voila comment on l utilise :

abc=1 montrer que a+b+c>=3
on a : a+b+c>=3(abc)^(1/3)=3(1)^(1/3)=3

une ligne pas plus !

j ai l impression que vous avez pas compris cette deuxième technique

si vous avez des questions n hésiter pas à les poster, je vais essayer de vous répondre à partir de 22h

Essayer de comprendre cette technique, franchement elle est très efficace !

a+

oui j ai pas compris (n ème racine)je pense ke si tu ècris avec latex sa serais très bien et merci

racine nème x = x puissance 1/n

slt a tout le monde
bn j'ai pas bcp de temps
mais je vais voir ca
et merci

salut commandant
voilà la sollution que je proposes :


en fait quelle technique c'est une vrai puissante arme ! en effet
la resolution devient très rapide !

PS: url de l'image http://mabse.ifrance.com/img/solt3.PNG

dsl pour le retard j'ai pas vu le sujet hier

très bien oumzil je vais essayer d ajouter d autres exercices

pour saiif : regarde la solution de cherif, et tu vas comprendre a quel point elle est facile et pratique !

salut ,
pour la question 7 :

très bien oumzil , respect ...
eh les autres ! réveillez vous !

slt a tout le monde
c tres bien oumzil et les autres
voila un exo
1/a^3(b+c)+1/b^3(a+c)+1/c^3(a+b)>=3/2 avec abc=1

Pour cherif: t es sur qu on peut résoudre l inégalité que tu as proposé juste avec la technique 2...?

slt a tout le monde
j une autre soll
mais je vais voir pr la technique
pour bel_jad
dans les techniques d'oly
c obligatoire de proposer des exo qui s'interresse aux techniques demannde
et merci

En fait ce que j essaye de faire c est de familiariser les personnes interessés avec les technique d olympiade, c est pour ça que je propose les techniques les plus classiques: les exercices que je propose donc ne sont qu une application directe du cours.
le jour ou ils vont tout assimiler, je vais essyer de poster des inégalités très dures, et je vais pas donner d indication, c est a eux de trouver la technique qui marche...
tu peux poster des inégaliés dures, mais il faut surtout que elles ont un minimum de rapport avec la technique, et n oublie pas de donner des indications, ça sera vraiment très sympa de ta part

slt a tout le monde
pour bel jad
merci bcp je vais proposer des exo
alors moi aussi je ss ton eleve

pas mal

slt a tout le monde
mq qlq x,y,z reeles on a
x²+y²+1>xrac(y²+1)+yrac(x²+1)
et bn chance

slt a tout le monde
indications
remarqer que se trouve une moutatabiqua

mq qlq x,y,z reeles on a
x²+y²+1>xrac(y²+1)+yrac(x²+1)

on a (rac(x²+1)-y)²>0
x²+1+y²>2yrac(x²+1)
et x²+1+y²>2xrac(y²+1)
alors 2x²+2y²+2> 2xrac(y²+1)+2yrac(x²+1)


donc x²+y²+1> xrac(y²+1) +yrac(x²+1)

salut cherif bon exercice mais je sais pas si t'as vu ca dans la technique 1 :

bel_jad5 a écrit:

chaque semaine, je vais essayer de developper une technique d'oympiade,...
...
8 ) soit x et y poistifs ,montrer que:
x²+y²+1>=xrac(y²+1)+yrac(x²+1)
...

o fait j'ai une idée bel_jad5 si tu veux tu peux donner la technique et les exercices et on t'envoie la sollution par messagerie et on poste : Sollution postée ( comme pour le problème de la semaine comme ca meme si on a du retard il sera toujours possiblede participer sans etre gêné par les sollutions des autres . Et pourquoi pas créer une autre partie dans le forum pour celà