problème N°45 de la semaine (04/09/2006-10/09/2006)

salut
chaque participant doit poster sa solution par E-MAIL

amateursmaths@yahoo.fr

(Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée )
puis il poste le message suivant ici "solution postée"
pour plus d'information voir les conditions de participation
Merci

Salam,

Solution postée
voici la solution de Good
Salam,

En prenant x=y=1, on a : f(1)²-2=f(1). Ce qui fait que f(1)=-1 ou f(1)=2.
Pour f(1)=-1, on a : -f(x)-x-1=f(x) et donc : f(x)=-(x+1)/2.
Pour f(1)=2, on a : 2f(x)-x-1=f(x) et donc : f(x)=x+1.
Sauf erreur, ce sont les deux seules fonctions de IR vers IR qui vérifient l'équation.

A bientôt

--
Sir Ahmed.

Sollution postée !
voici la solution d'Oumzil
,
voilà ma sollution :

On a pour tous réels x et y : f(x)f(y)-x-y = f(xy)

pour x=0 et y=0 on a : f(0)² = f(0)
alors : f(0) = 0 ou f(0) = 1

Pour x=0 et y réel non nul : f(0)f(y)-f(0) = y
donc : f(0) [f(y) - 1] = y
alors : f(0) n'est pas nul
donc : f(0) = 1
et alors : pour x=0 et y réel on a : f(0) [f(y) - 1] = y
donc : f(y)-1=y
alors : f(y) =y + 1

donc la fonction qui réalise la condition est : f(X) = X +1

à bientot

Bonjour
Solution postée
voici la solution d'abdelbaki
Bonjour
pour x=y=0 ==> f(0)²=f(0)
pour x=1 et y=0 ==> f(1)f(0)-1=f(0) ==> f(0)=1
pour y=0 et x dans IR ==> f(x)-x=1
A+

Salam
Solution postée.
voici la solution de Mahdi
x=0 et y=0==>f(0)²=f(0)==>f(0)=0 ou f(0)=1

Aucune fonction ne verifie la 1ere condition (f(0)=0)

Alors pour f(0)=1 on prends y=0 alors f(x)f(0)-x=f(0)===> f(x)=x+1

alors les fonctions qui verifient la relation cité sont f(x)=x+1

A+

solution postée
voici la solution de fermat
slt a tout le monde voila ma solution :

on prend x=y=0 on aura :

f(0)²-f(0)=0 ce qui donne f(0)=1ou f(0)=0
il est clair que f(o)=1

on prend y=0 on aura:
f(x)=x+1

Bonjour;
Solution postée
voici la solution d'Elhor
Bonjour Samir ;

[color=brown]Condition nécéssaire:
Si f est une telle fonction , en faisant successivement (x,y)=(0,0) et (x,y)=(1,1) on trouve ,
f(0) = 0 ou 1 et f(1) = -1 ou 2 (noter que f(1)#1) .
En faisant y=1 et en laissant x quelconque on trouve ,
f(x) ( f(1) - 1 ) = x + 1 .
Avec les considérations précédentes on a donc nécéssairement pour tout réel x ,
f(x) = x + 1
[color:5b90=brown:5b90]Condition suffisante:L'identité (x+1)(y+1)-x-y=xy+1 étant vraie pour tous réels x et y , on conclut .
(sauf erreur bien entendu)

solutions postèe
voici la solution de saiif3301
slt voila ma rponce on va mettre x=1 et y=1 alors f(1)-2=f(1) on met
f(1)=X alors X-X-2=0 alors delta=1+8=9 alors X=2 ou X=-1 alors f(1)=2 ou
f(1)=-1 on met y=1 alors f(1)f(x)-x-1=f(x) alors si f(1)=2 alors f(x)=x+1 et
si f(1)=-1 alors f(x)=-(x+1)/2 alors les fonction sont f(x)=x+1 et
f(x)=-(x+1)/2

bonsoir
solution postée
voici la solution de khamaths
salut samir;j'espere que vous vous portez bien.je viens de rentrer de mes vacances.vous m'avez tous manqué..

pour ce problème45:


*pour; x=y=0 : on a f(0)²=f(0) donc f(0)=0 ou f(0)=1
*pour x=0 et y=1 ona: f(0)f(1)-1=f(0) donc f(0)=1 et par suite f(1)=2
*pour y=1 et pour tt x dansIR: f(x).f(1)-x-1= f(x)
soit: f(x)= x+1 pr tt x dans IR

bonsoir
solution postèe
voici la solution de selfrespect
salut
* pour x=y=0 f(0)²=f(0) implique f(0)=1ou f(0)=1
*si f(0)=0 ona pour tt x de R x=0 !!!
*si f(0)=1 on a pour tt x de R (y=0) f(x)=x+1
*reciproquement on remarque bien que cette fonction verifie les conditions

bonsoir
solution postée.
voici la solution de Montacir
pour x=y=0 on a f(0)=0 ou f(0)=1
pour y=0 on a f(x)*f(0)=x+f(0)
si f(0)=0 alors x=0 pour tout x ce qui est absurde
alors f(0)=1
alors f(x)=x+1 pour tout x de R
cette solution verifie l'equation

la solution x->x+1 est la bonne solution

slt
solution postee
voici la solution de kalm
on a: f(x)f(y)-x-y=f(xy) =>f(0)=1ou f(0)=0
on peut facilement voir que f(0)n"egale pas a 0
car f(x)f(0)-x=f(0) =>x=0
donc f(0)=1 => f(x)f(0)-x=f(0)
f(x)=x+1
a+

Bonjour!
Solution postée.
voici la solution de Kendor
Soit f:R-R,telle que f(x)f(y)-x-y=f(xy),pour tous x,y dans R
Si x=y=0,on obtient f(0)^2=f(0)
Donc f(0)=0 ou f(0)=1

a)Si f(0)=0,alors pour x=0 et y=1,on a -1=0,ce qui est absurde.
b)Donc f(0)=1.
Alors pour x=0 et pour tout y dans R,on a:f(y)-y=1.
La seule fonction qui pourrait convenir est donc f:x-x+1
On vérifie que f(x)f(y)-x-y=(x+1)(y+1)-x-y=xy+x+y+1-x-y
=xy+1
=f(xy)
Il existe donc une et une seule solution:la fonction f telle que f(x)=x+1 pour tout x dans R.

Kendor
A+

bonjorno,
solution postée
voici la solution de Lotfi
Bonjorno,
On a f(x)f(y)-x-y=f(xy).
pour tout réels x et y. donc on peut donner à x et y les valeur qu'on veut.
On prend y=x=0.
donc f(0)²=f(0).
alors: f(0)=1.
puis on prend y=0
donc f(x)f(0)-x=f(0)
f(x)-x=1.

alors la fonction est

f(x)=x+1.

j'éspere que cette foie je serais champion de la semaine.

bonjour
solution postée
voici la solution de Chouchou
on a f(x).f(y)-f(xy)=x+y
pour x=y=0
[f(0)]² - f(0)=0
alors f(0)=1 ou bien f(0)=0

pour x=0 et f(0)=0
on a y=0 alors le terme 'f(0)=0' et faux

donc f(0)=1
et pour y=0
f(x).f(0) - f(0) = x
f(x) - 1=x
donc f(x) = x+1

chouchou

Bonsoir,

solution postée

voici la solution deThomas
Salut !

Pour x=y=0, on a : (f(0))²=f(0) soit f(0)(f(0)-1)=0

Donc f(0)=0 ou f(0)=1

Or, pour y=0 et x=x, on a : f(x)f(0)-x=f(0) donc f(x)=(f(0)+x)/f(0)
Donc on ne peut pas avoir f(0)=0 et donc on a f(0)=1

D'où f(x)=x+1

Réciproquement, on vérifie que f(x)=x+1 est bien solution de l'équation.

Merci pour l'exo !

solution postée
voici la solution d'abdelilah
1- f(0)=1
donc la seule fonction est f(x)=x+1
abdelilah