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Sujet: exp(x) irrationnel Ven 16 Déc 2005, 15:11
Bonjour, montrer que si x est un nombre rationnel non nul, alors e^x est un irrationnel.
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lolo Maître
Nombre de messages : 91 Date d'inscription : 12/12/2005
Sujet: Re: exp(x) irrationnel Ven 16 Déc 2005, 15:22
x=p/q si exp(p/q) est rationnel alors sa puissance qième aussi donc exp(p) est rationnel . Là je suppose que la preuve classique avec la série s'adapte.
lolo
abdelbaki.attioui Administrateur
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Sujet: Re: exp(x) irrationnel Dim 22 Jan 2006, 11:15
Bonjour Soit x=p/q avec p,q des entiers >0. Supposons que e^x=a/b avec a,b des entiers >0. On considère
Montrer que 1) Pour tout n il existe un polynôme P_n tel que
x^(2n+1)I_n(x)=P_n(x)e^x-P_n(-x)e^(-x)
2) La suite (abp^(2n+1)I_n(x)) est dans Z et elle tend vers 0. En déduire une contradiction 3) Si x rationnel <0 , e^x est irrationnel 4) Si x rationnel >0 et x#1, ln(x) est irrationnel AA+
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