Point fixe Classique

Soit E ev de Banach

f est une application , a un element de ]0,1/2[ , ||.|| norme sur E

On suppose que ||f(x)-f(y)|| <= a(||f(x)-x|| + ||f(y)-y||)

Montrer que f admet un point fixe unique.

Mahdi a écrit:

Soit E ev de Banach

f de L(E) , a un element de ]0,1/2[ , ||.|| norme sur E

On suppose que ||f(x)-f(y)|| <= a(||f(x)-x|| + ||f(y)-y||)

Montrer que f admet un point fixe unique.

Je pense que f : E ---> E seulement une application !
car si f de L(E) ==> f(0)=0 et c'est terminé!

soit m=inf {||f(x)-x|| /x dans E}.
il existe une suite (x_n) de E telle que ||f(x_n)-x_n|| --> m
|| x_p -x_q|| =< ||f(x_p)-x_p||+||f(x_p)-f(x_q)|| + ||f(x_q)-x_q||
==> || x_p -x_q|| =<(1+a) ||f(x_p)-x_p||+ (1+a)||f(x_q)-x_q||
==> (x_n) de Cauchy et comme E complet x_n --> x dans E.
==> ||f(x)-x||=m
si m>0 alors f(x)#x
==> m=< ||f(f(x))-f(x)|| =<am+a||f(f(x))-f(x)||
==> (1-a)m=< (1-a)||f(f(x))-f(x)||=<am
==> a>=1-a ==> a=>1/2 absurde . Donc m=0

abdelbaki >> je ne vois pas pourquoi la suite (xn) est de Cauchy ? sauf erreur de ma part bien entendu

Ok Abdelali
soit m=inf {||f(x)-x|| /x dans E}.
soit eps>0, il existe y : m=<||f(y)-y||< m+eps
==> m=< ||f(f(y))-f(y)|| =<a||f(y)-y||+a||f(f(y))-f(y)||
==> m=< ||f(f(y))-f(y)|| =<a(m+eps)+a||f(f(y))-f(y)||
==> (1-a)m=<(1-a) ||f(f(y))-f(y)|| =<a(m+eps)
==> (1-a)m=<a(m+eps) ==> m=0
il existe une suite (x_n) de E telle que ||f(x_n)-x_n|| -->0
|| x_p -x_q|| =< ||f(x_p)-x_p||+||f(x_p)-f(x_q)|| + ||f(x_q)-x_q||
==> || x_p -x_q|| =<(1+a) ||f(x_p)-x_p||+ (1+a)||f(x_q)-x_q||
==> (x_n) de Cauchy et comme E complet x_n --> x dans E.
==> f(x)=x

Maintenant c'est OK abdelbaki

Pardon , f était une application j'ai edité le post