trouver tousles polynomes

boukharfane radouane a écrit:

trouver toutes les polynomes p(x) de 5 degrés tels que p(x)+1 est divisé par (x-1)^3 et p(x)-1 est divisé par (x+1)^3.

lol je crois que cette proprieté suffira:
a zero triples de Q==> a est un zero de Q',Q";Q
et ça devient une recherche de poluynome de 3 eme degré ce qui est moins dur .
a+

oui selfrespect c'est le petit truc de cet exo;laisse qq autre continuer!!!

bjr ca va pouvez vous m'aider

montrer que klk soit n superieur ou egal a 0
il exsiste un polynome Pn de degré n tel ke Pn(X+(1/X))=X^n+(1/X^n)
merci

asmaa20010 a écrit:

bjr ca va pouvez vous m'aider

montrer que klk soit n superieur ou egal a 0
il exsiste un polynome Pn de degré n tel ke Pn(X+(1/X))=X^n+(1/X^n)
merci

Bjr , on procede par rccurence sur n ( ):
n=0;p0=2 convient
n=1,p1=X convient ,(on peut calculer P3,P3,P4..si le temps le permet et conjecturer le reultat !)
on suppose que pour un certain rang n-1 P_(n-1) existe et montrons que Pn existe aussi.
l'idée est de chercher P(n+1) en fct P0,P1...Pn.et remarquant que le deg Pn=n
on peut remarquer que


on fait un changement de variable dans la deuxieme somme.
implique
or qq soit k£{0...E(n/2)} il existe un P_(n-2k) tq P_(n-2k)=X^(n-2k)+X^(2k-n)
on deduit en tirant (X^n+1/X^n) lexistence de Pn qui est exactement ( )

avec P0=2
et P1=X
@

BSR asmaa20010 !!
Si on pose Z=X+(1/X) , il revient au même de prouver la propriété suivante :
Pour tout entier naturel n , X^n + (1/X^n)=Pn(Z) avec Pn polynôme à coefficients dans IR de degré n exactement .
On utilisera pour cela la méthode de récurrence forte !!

INITIALISATION
Pour n=0 la propriété est VRAIE : prendre Po(X)=2
Pour n=1 idem : prendre P1(X)=X
Pour n=2 idem : prendre P2(X)=X^2 - 2
HYPOTHESE de RECCURENCE : supposons la propriété VRAIE jusqu’à l’ordre (n-1) , ALORS
Z^n={X+(1/X)}^n={1+X^2}^n/{X^n}
Qui s’écrira par la Formule du Binôme de NEWTON ainsi :
Z^n=SIGMA {i=0 à n ; C(n,i).X^(2i-n)} (*)
Deux cas peuvent se produire :
1er Cas : n est PAIR n=2m
L’expres​sion(*) renferme (2m+1) facteurs, on pourra alors apparier les
facteurs C(n,i).X^(2i-n) et son symétrique dans la somme (*)
obtenu en changeant i en (n-i) soit C(n,n-i).X^(n-2i)
Leur somme donnera C(n,i).{X^(2i-n) + 1/(X^(2i-n)} c'est-à-dire EXACTEMENT
C(n,i).P(n-2i)(Z)
Il y aura un facteur orphelin dans (*) correspondant à i=(n/2)=m et ce sera donc
2.C(2m,m) ( terme constant !!)
Z^n=SIGMA {i=0 à m-1 ; C(2m,i).P(2m-2i)(Z)}+ 2.C(2m,m)
=P(2m)(Z) + SIGMA {i=1 à m-1 ; C(2m,i).P(2m-2i)(Z)}+ 2.C(2m,m)
et de là X^n + (1/X^n)=Pn(Z)=Z^n - SIGMA {i=1 à (n/2)-1 ; C(n,i).P(n-2i)(Z)}- 2.C(n,n/2)
2ème Cas : n est IMPAIR , on fait une étude analogue et c’est sans difficultés !!!
A noter qu'alors on n'a plus de terme constant puisque dans (*) il y a un nombre PAIR de termes appariables 2 à 2 exactement !!!
A+ LHASSANE

PS : je vois que c'est tout comme chez Selfrespect qui reçoit Bonsoir !!!!!!

@Selfrespect !!
Je crois que dans ta Démo , il faudra discuter selon la Parité de n
En effet les écritures Pn sont différentes selon n PAIR ou IMPAIR .
A+ LHASSANE

Oeil_de_Lynx a écrit:

@Selfrespect !!
Je crois que dans ta Démo , il faudra discuter selon la Parité de n
En effet les écritures Pn sont différentes selon n PAIR ou IMPAIR .
A+ LHASSANE

Mon bonjour;
si vous le dites biensur!! , l'essentiel c'est que le message soit reçu !!!!!
@++

Salut Selfrespect !!
Le message a bien été envoyé mais pas de
Feed-Back en vue ????!!!!
A+ LHASSANE