problème N°26 de la semaine (24/04/2006-30/04/2006 )

salut
chaque participant doit poster sa solution par E-MAIL

amateursmaths@yahoo.fr

puis il poste le message suivant ici "solution postée"
pour plus d'information voir les conditions de participation
Merci

Bonjour
Solution postée
voici la solution de ABDELBAKI ATTIOUI

Si x,y et z sont tous de même signe alors on peut supposer que
qu'ils sont positfs
x>y+z , y>x+z et z>x+y ==> x+y+z>=2(x+y+z)>=0 ==> x+y+z=0

Si x,y et z ne sont pas tous de même signe, alors on peut se ramener à
x>=0 , y>=0 et z=<0.
-z>=x+y ==> x+y+z=<0 et -z>=x et -z>=y donne
x+y+z >= |y+z|+|x+z|+z =-y-z-x >=0. Donc x+y+z=0



A+

bonsoir,
Solution postée
voici la solution de toetoe
|x| >= |y+z| => x^2 >= y^2 + z^2 + 2 yz (1)

|y| >= |x+z| => y^2 >= x^2 + z^2 + 2 xz (2)

|z| >= |x+y| => z^2 >= x^2 + y^2 + 2 xy (3)

(1),(2) et (3) => x^2 + y^2 + z^2 + 2 (xy + yz + zx) =<0 (4)

(4) <=> (x+y+z)^2 =<0 => x+y+z = 0

toetoe,

Bonsoir

Solution postée !
voici la solution de ZEfiloux

bonjour

solution postée
voici la solution de gdsou
le signe " < " veut dire "inferieur ou egale a "

|y+z| < |x| ====> -x<y+z<x
|x+z| < |y| ====> -y<x+z<y
|x+y| < |z| ====> -z<x+y<z
-(x+y+z)< 2(x+y+z) <x+y+y
|2(x+y+z)| < |x+y+z|
2|x+y+z| < |x+y+z|
on met A= |x+y+z|
donc 2A - A< 0
A<0
et puisque A est positive (la valeur absolue)
donc A=0
alors |x+y+z|=0
cela veut dire x+y+z=0

Ca faisait longtemps tiens..
Solution postée.
voici la solution de mathman
Par symétrie des rôles, nous pouvons supposer que . Alors :
, donc y et z sont de signe opposés (ou bien ils sont égaux à zéro).
Aussi : de sorte que x et z soient aussi de signes opposés (ou égaux à zéro). Sans perte de généralité, supposons que et .
Raisonnons maintenant par l'absurde. Supposons que ou .

1er CAS :

Alors et les deux côtés sont positifs, donc , contradiction.

2ème CAS : .

Alors et les deux côtés sont négatifs, donc ,contradiction.

Donc, on a montré par l'absurde que : .

gdsou a écrit:

bonjour

solution postée
voici la solution de gdsou
[color=red]le signe " < " veut dire "inferieur ou egale a "

|y+z| < |x| ====> -x<y+z<x
|x+z| < |y| ====> -y<x+z<y
|x+y| < |z| ====> -z<x+y<z

Ces implications sont fausses en général

salam

ma demonstration est fausse ??

Eh bien je crois que oui gdsou, mais tu peux essayer de voir si tu peux la réparer avec ça :

|a| < |b| SSI -|b| < a < |b|

qui est une version correcte.

Contre-exemple à ce que tu avais écrit : |2| < |-3|, et pourtant -(-3)<2<-3 est une affirmation fausse.

ah oui c est vrai je ne me suis pas apercue!!
j ai refais le calcul en gardant la valeur absolue dans les deux cotees et ca marche quand meme ..

merci