Limite amusante :)

Salut @ tous,

Je me suis souvenu de cette limite en ayant vu celle postée précédement par Oeil_de_Lynx :

Pour tout a,b>0 trouver :




Bonne chance elle est vraiment amusante à faire!

A vous de jouer :

est ce multiplié par 1/x a à la puissance

C'est une puissance.

Si c'était une multiplication la fraction de 1/x sera de semblable à celle du nombre à gauche!!!!!!!

a>0 et b>0?

Ouais

PS: je réctifie en haut

je cois qu il faut specifier que cé pour les 3emes !

madani a écrit:

je cois qu il faut specifier que cé pour les 3emes !

Hein???

madani a écrit:

je cois qu il faut specifier que cé pour les 3emes !

BSR Mr Madani !!
Vous qui enseignez dans le secondaire et qui connaissez mieux que moi les programmes , peux-t-on utiliser les EQUIVALENTS de fonctions dans la détermination de cette limite ??
C'est du niveau BAC , je crois !
A+ LHASSANE

j ai ps tellement compris votre question Mr o.l mais d apres moi
il faut etuliser ls fcts : exp et log!

madani a écrit:

j ai ps tellement compris votre question Mr o.l mais d apres moi
il faut etuliser ls fcts : exp et log!

Exactement !

on doit d abord comparer a et b et puis factoriser a^x ou b^x

Comparer et factoriser !!!!

Fait nous une démonstration stp!!!

Je veux dire , est ce qu'on peut utiliser les équivalents suivants :
exp(u)-1 eqv à u pour u voisin de 0
Ln(v) eqv à v-1 au voisinage de 1
Je pense que ce sont là les seuls équivalents à utiliser ici pour se tirer d'affaire !!
Autrement , ils savent que a^x=exp(x.Lna) si a>0 .
A+ LHASSANE

a bon Mr o.l j ai compris maintenant votre question ! ma specialité cé 1bsm et 2bac sx mais je croix qu il faut essayer la methode directe si nn les comparaisons par d autres fcts et non les remplacer par ds fcts equivalentes!

Là on vous suit madani mais je ne comprend toujours pas comment va-t-en comparer et factoriser ???

pour a^x=exp(x.Lna) ils sont censés de la connaitre sinon sa sera en 2session et malheuresement je crois que cé l unique issue possible!

Ouais c'est ce que je pense aussi !!!!!!

Ensuite on va faire quoi au juste?

Parceque j'ai proposé à raito321 la soluce suivante :
<<Tu écris ta fonction sous la forme exp{(1/x).Ln{(a^x+b^x)/2} puis
{exp(xLna) + exp(xLnb)}/2 tend vers 1 qd x--->0
Or Ln(v) est équivalent à v-1 au voisinage de v=1
Ici v={exp(xLna) + exp(xLnb)}/2
donc v-1={exp(xLna) + exp(xLnb)}/2 -1 est équivalent à (1/2).x.Ln(ab) pour x voisin de 0
cela conduira à (ab)^(1/2) comme valeur de la limite proposée dans ce Topic . >>
Apparemment , raito321 ne semble pas satisfait de la méthode , quant au résultat il est JUSTE .
A+ LHASSANE

sorry raito321 je rependai a Mr o.l et pr ta question supposons que a<b alors factorisons par a^x la fct devient:
a((1+(b/a)^x)/2)^1/x ou factorisons par b^x la fct devient:
b((1+(a/b)^x)/2)^1/x

Oeil_de_Lynx a écrit:

Apparemment , raito321 ne semble pas satisfait de la méthode

C'est seulement parce que je ne connaissait pas ce que ça veut dire les equivalent !!!

Mais là c'est bon !!

Citation :

b((1+(a/b)^x)/2)^1/x

Ok ! ensuite on fais enter les exp et les ln c'est ça?

wé cé ça ! tu peux comencer par essayer
ln[a((1+(b/a)^x)/2)^1/x] et bon chance !

En fait on arrive à un stade ou cela bloque !!
Tu peux stp faire une demonstration?

BSR raito321 !!
Voilà , j'en ai trouvé une autre tout aussi SEDUISANTE que ma première !!
Elle est simple et Niveau BAC , je crois !!
Tu écris ta fonction sous la forme
f(x)=exp{(1/x).Ln{(a^x+b^x)/2}
Ensuite :
on considère la fonction g(x)=Ln{(a^x+b^x)/2} et on la prolonge par continuité en 0 en posant g(0)=Ln(1)=0
De cette manière , il apparait que :
f(x)=exp{(g(x)-g(0))/x}
Bien sûr lorsque x------>0 alors (g(x)-g(0))/x qui est un QUOTIENT DIFFERENTIEL tend vers g'(0)
Or g'(x) est égale , tous calculs faits , à :
{a^x.Lna + b^x.Lnb}/{a^x + b^x}
et de là g'(0)=Ln(ab)/2
La fonction exp étant CONTINUE alors :
Limf(x)=exp(u'(0))=(ab)^(1/2) lorsque x----->0
A+ LHASSANE
Maintenant , je peux aller faire DoDo
J'ai utilisé :
a^x=exp(x.Lna) si a>0
puis {a^x}'=(Lna).a^x et enfin a^0=1 ( prolongement par continuité )

ouai monsieur bourbaki
il fallait juste patienter un peu j ai trouve mm resultat
mais pourtant c amusant comme limite
ma méthode etait basé sur la division par b^x