Première olympiade de première [26 novembre 2010]

Exercice 1 :
Résoudre dans :


Exercice 2 :
Résoudre dans IR l'équation :

Exercice 3 :
Soient a et b deux réels et M(a,b)=max{3a²+2b ; 3b²+2a}.
Déterminer les valeurs de a et b pour lesquelles M(a,b) prend sa valeur minimale.

Exercice 4 :
Soit ABC un triangle. F et L sont deux points sur le côté [AC] tels que AF=LC < AC/2
Déterminer la mesure de l'angle FBL sachant que AB²+BC²=AL²+LC²

Salut Djikschneier
J'ai fait l'exercice 1,2,4 le 3 j'en suis pas sûr
voilà
Exercice 1:
S={(1/670;1/670;1/670)}
Exercice 2:
S={0}
Exercice3
Avec quelques inégalité on trouve que a=b)-1/3
Exercice 4:
En utilisant Al Kashi on trouve FBL = 90°

Solution au problème 1 :
Soient x,y,z des réels positifs vérifiant le système.
On a d'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz : , avec égalité si et seulement si x=y=z.
Ici, on est justement dans le cas d'égalité, donc x=y=z. En reportant dans l'une des relations du système, on obtient , et par suite :

Solution au problème 2 :
On pose y=x-1 pour simplifier.
L'équation devient alors après développement : , qui est factorisable de la sorte :
, ce qui implique que y=-1.
Par suite, x=0.

Solution au problème 3 :
On sait que le maximum est toujours supérieur à la moyenne arithmétique.
Par suite : , avec égalité si et seulement si
M(a,b) est donc minimale lorsque

Solution au problème 4 :

CQFD.

slt
1/ x=y=z=1/670
2/x=0
3/a=b=-1/3
4/90

Pour le troisième exrcice, on n'a pas fait la leçon c'est pour ça que j'ai trouvé a=b=1/3

Je l'ai fait sans cette méthode
On fait juste par symétrie des roles qui est le max
j'ai dans l'un 1/3 et dans l'autre -1/3
dans le min c'est -1/3

Héy salut tous ,
Euh j'ai participé je n'ai repondu qu'au 1er et 2eme exercice
alors là je veux savoir combien d'exercices on doit faire pour se qualifier ou combien faut avoir en note ? :p
et je veux savoir si il y'aura un autre au 03 decembre

salut tout le monde
pour l'exercice 2
l'equation equivalent a : (x-1)^6 _(x+1)^6/-2 =0
equivalent aussi a (x-1)^3=(x+1)^3 ou (x-1)^3=(-x-1)^3
alors -1=1 ou 2x=0
donc S=(0)

elle est égalé aussi à :

(a^2+b^2+ab)(a^3+b^3)=0 avec a =x+1 et b=x-1

<=>....

<=> x=0 ou x^2=-1/3 (si ma mémorie est bonne)

donc S={0}

pour le 1 je ne m'attendais pas à une application si facil et directe de caushy shwarz et j'ai même dû la démontrer (je n'étais pas sur si on a le droit d'utiliser les inégalités hors programme)

mon 1er olympiade (personne de l'école où j'étais les années dernières n'y participer) -.- j'espére qu'il ne sera pas le dernier xD

Question: pour le second olympiade tout le monde pourra y participer ou slmt les qualifiés? et comment les qualifiés sont choisi? Merci d'avance.

Solution du problème 4 :

D'après Al Kashi dans le triangle BFL :
FL² = BF² + BL² -2BF.BLcos(BFL)
(AL-LC)²=BF²+BL²-2BF.BL.cos(BFL)
AL²+LC²-2AL.LC=BF²+BL²-2BF.BL.cos(BFL) => (1)
Or dans le triangle ABF nous avons :
BF²=AF²+AB²-2AF.AB.cos(A)=LC²+AB²-2LC.AB.cos(A) => (2)
Et dans le triangle BLC nous avons :
BL²=LC²+BC²-2.BC.LC.cos(C)=> (3)
En sommant (2) et (3) nous avons
BL²+BF²=AB²+BC²+2LC²-2LC.(AB.cos(A) + BC.cos(C))
On remplace dans (1) on trouve :

AL²+LC²-2AL.LC=AB²+BC²+2LC²-2LC(AB.cos(A)+BC.cos(C))-2.BF.BL.cos(BFL)
Donc -2AL.LC=2LC²-2LC.(AB.cos(A)+BC.cos(C))-2BF.BL.cos(BFL)
Or nous avons AB.cos(A)+BC.cos(C)=AC
donc -2AL.LC=2LC²-2LC.AC-2BF.BL.cos(BFL)
donc BF.BL.cos(BFL)=LC.(LC+AL-AC)
donc BF.BL.cos(BFL)=0
donc cos(BFL)=0
BFL=90°

CQFD

Salam

1ér Exo : j'ai avancé comme Dijkcshneier, j'ai trouvé le méme résultat.
2 Exo : Autre methode pour le deuxiéme EX:
Poser x+1=a , x-1=b donc l'equation devient: a^5+a^4b+a^3b²+b^3a²+ab^4+b^5=0
Puis utiliser (a+b)^5=(a+b)²(a+b)²(a+b)^5=a^5+5a^4b+5ab^4+10a^3b²+10b^3a²
<=>(a+b)^5=9(a^3b²+b^3a)+4(a^4b+b^4a) car a^5+b^5+ab^4+ba^4+a²b^3+a^3b=0
<=>(a+b)^5=4(a^3b²+b^3a+a^4b+b^4a)+5(a^3b²+b^3a) [car ...]
<=>(a+b)^5=5(ab)²(a+b) <=> (a+b)((a+b)^4-5(ab)²)=0
==> a=-b ou (x-1 +x+1)^4-5((x-1)(x+1))^2=0
==> x-1=-(x+1) => x=0 ou x^4-5(x²-1)^2=0 (Ne vérifie pas les donnés.) Donc S={0}.
Deuxiéme methode: Elle est quivalente à: 6x^5+20x^3+6x=2x(x²+3)(3x²+1)=0
==> x=0 .

3 Exo : a=b=-1/3 aprés réviser M(a,b)=-1/3 avec a=b=-1/3, j'ai pas donné le résultat final dans la copie, mais j'ai réussi à le résoudre d'une belle methode

Il y a ceux qui ont utilisé le tableau des variations, et qui ont trouver que le minumum M(a,b)=-1/3 Ils ont considéré que M(a,b) est une fonction xD

4éme EXO: Al-kachi seule suffit. Enfin: FBL=90°

pour ex 3 je fait autre methode voila
M(a,b)=max{3a²+2b ; 3b²+2a}.
donc f(a,b)={3a²+2b ; 3b²+2a}
donc
f(a,a)={3a²+2a ; 3a²+2a}
donc
f(a)=3a²+2a
je fait le tabeleaux de variation
le tableau des variations
https://2img.net/h/i698.photobucket.com/albums/vv343/monimalaa/Untitled-2-7.png?t=1290807635
avec la meme methode pour b
et en in a=b=-1/3

provo pour voux est bonne chance

salam

pour exo 2
======

x=1 n'est pas solution

on divise le tout par (x-1)^5

on pose (x+1)/(x-1) =Z

====> Z^5 + Z^4 + Z^3 + Z² + 1 = 0

on multiplie par (Z-1)

===> Z^6 - 1 = 0

===> Z = 1 ou -1

====> (x+1)/(x-1) = 1 ou (x+1)/(x-1) = -1

====> x+1=x-1 impossible ou x+1 = -x+1 ====> x=0

donc l'unique solution est 0

__________________________________

Est-ce-que dans la correction on note aussi sur la démonstration :
parce que pr le 4eme exercice jé dit que AC =ABcosA + BCcosC sans le démontrer
est-ce-qu'on va me retirer des points ou nn?

Dijkschneier a écrit:

....
Exercice 3 :
Soient a et b deux réels et M(a,b)=max{3a²+2b ; 3b²+2a}.
Déterminer les valeurs de a et b pour lesquelles M(a,b) prend sa valeur minimale.

BSR à Toutes et Tous !!
Je voudrais m'essayer sur cet exo .... d'autant plus qu'il n'a pas été traité de manière très nette
à mon goût !! Cependant , les exigences le Jour du Test sont ce qu'elles seront .....

Il y a lieu de remarquer que M(a;b)=M(b;a) d'une part.
Regardons quand est ce que M(a;b)=3.a^2 + 2.b ????
Il faudrait et il suffirait que 3.a^2 + 2.b >= 3.b^2 + 2.a
soit 3.(a^2-b^2) >= 2.(a-b)
Si a=b on traite comme celà a été fait pour trouver un minimum égal à -(1/3) atteint pour a=-1/3
On est d'accord pour celà ....
Si a<>b alors on simplifie pour obtenir (a+b) >= (2/3)
donc on devrait avoir b >= -a +(2/3)
On devra donc chercher le minimum de 3.a^2 + 2.b lorsque b >= -a +(2/3)

Un repère orthonormé d'origine O , b sera placé en Ordonnées et a en Abscisses ..
La zône du plan définie par b >= -a +(2/3) sera facilement localisée après avoir tracé la droite
d'équation b=-a + (2/3) et fait un Test pour a=b=0 .
Cette zône sera balayée par les droites b=-a +r avec r>=(2/3)
Puis , on remplace dans M(a;b)=3.a^2 + 2.b , b par -a + r
On obtiendra M(a;b)=3.a^2 + 2.(-a+r)=3.a^2 - 2.a + 2.r

On fixe r et on cherche le Minimum en a :
On trouvera pour la valeur a=-(1/3) un minimum égal à -(1/3) + 2.r
Maintenant , on cherche le plus petit de ces minimums lorsque r>=2/3 et on trouvera -(1/3)+(4/3)=1

En conclusion : la valeur Minimale de M(a;b) est le plus petit des 2 réels -(1/3) précédemment trouvé
et 1 ci dessus trouvé ; c'est donc -(1/3) et il est toujours atteint lorsque a=b=-(1/3) .


Amicalement. LHASSANE

Remarquez tout de même, Bison Futé, que ma solution a l'intérêt d'être plus concise.
Je ne vois pas ce qui empêche une clarté suffisante dans ma démonstration : est-ce le fait d'avoir dit rapidement que le maximum est supérieur à la moyenne arithmétique ?
Si c'est en effet cela, sachez que la démonstration à cela est très simple : le maximum de deux quantités A et B est soit A, soit B. S'il était A, alors M(A,B)=A>=A et M(A,B)=A>=B, et par somme M(A,B)>=(a+b)/2. De même si le maximum était B. Avec égalité si et seulement si A=B.

Dijkschneier a écrit:

Remarquez tout de même, Bison Futé, que ma solution a l'intérêt d'être plus concise.
Je ne vois pas ce qui empêche une clarté suffisante dans ma démonstration : est-ce le fait d'avoir dit rapidement que le maximum est supérieur à la moyenne arithmétique ?
Si c'est en effet cela, sachez que la démonstration à cela est très simple : le maximum de deux quantités A et B est soit A, soit B. S'il était A, alors M(A,B)=A>=A et M(A,B)=A>=B, et par somme M(A,B)>=(a+b)/2. De même si le maximum était B. Avec égalité si et seulement si A=B.

BSR Dijkschneier !!

En aucun cas , je n'ai visé ta Proposition ...
Si tu as fait attention , j'ai bien dit << que je voulais m'essayer ... >>
Et si tu as remarqué , je n'ai pas utilisé les Inégalités que vous maitrisez Tous et Toutes Très Bien d'ailleurs .
Je suis parti du shéma de l'Optimisation d'une expression fonction de 2 variables a et b sur un domaine D du Plan !!! Voilà Tout !! Ce qui m'a étonné c'est le fait de conclure si vite que le Min est atteint lorsque a=b ( c'est à dire que l'on se trouve sur la 1ère Bissectrice du Plan ) ....
En conclusion : dis-toi que je ne suis pas habitué du tout à l'usage des Inégalités ...

Amicalement . LHASSANE

Bison_Fûté a écrit:

Dijkschneier a écrit:

....
Exercice 3 :
Soient a et b deux réels et M(a,b)=max{3a²+2b ; 3b²+2a}.
Déterminer les valeurs de a et b pour lesquelles M(a,b) prend sa valeur minimale.

BSR à Toutes et Tous !!
Je voudrais m'essayer sur cet exo .... d'autant plus qu'il n'a pas été traité de manière très nette
à mon goût !! Cependant , les exigences le Jour du Test sont ce qu'elles seront .....

Il y a lieu de remarquer que M(a;b)=M(b;a) d'une part.
Regardons quand est ce que M(a;b)=3.a^2 + 2.b ????
Il faudrait et il suffirait que 3.a^2 + 2.b >= 3.b^2 + 2.a
soit 3.(a^2-b^2) >= 2.(a-b)
Si a=b on traite comme celà a été fait pour trouver un minimum égal à -(1/3) atteint pour a=-1/3
On est d'accord pour celà ....
Si a<>b alors on simplifie pour obtenir (a+b) >= (2/3)
donc on devrait avoir b >= -a +(2/3)
On devra donc chercher le minimum de 3.a^2 + 2.b lorsque b >= -a +(2/3)

Un repère orthonormé d'origine O , b sera placé en Ordonnées et a en Abscisses ..
La zône du plan définie par b >= -a +(2/3) sera facilement localisée après avoir tracé la droite
d'équation b=-a + (2/3) et fait un Test pour a=b=0 .
Cette zône sera balayée par les droites b=-a +r avec r>=(2/3)
Puis , on remplace dans M(a;b)=3.a^2 + 2.b , b par -a + r
On obtiendra M(a;b)=3.a^2 + 2.(-a+r)=3.a^2 - 2.a + 2.r

On fixe r et on cherche le Minimum en a :
On trouvera pour la valeur a=-(1/3) un minimum égal à -(1/3) + 2.r
Maintenant , on cherche le plus petit de ces minimums lorsque r>=2/3 et on trouvera -(1/3)+(4/3)=1

En conclusion : la valeur Minimale de M(a;b) est le plus petit des 2 réels -(1/3) précédemment trouvé
et 1 ci dessus trouvé ; c'est donc -(1/3) et il est toujours atteint lorsque a=b=-(1/3) .


Amicalement. LHASSANE

Bonsoir Mr LHASSAN !

C'est la méme methode que j'ai suivit Juste que dans des étapes ou se voit une petite différence.
J'ai remarquer que max{x,y}=x ou y , si x donc x>=y , j'avais rencontré 2 cas principale, chacune à deux cas :d

Voiçi le début de ma démonstration:

max{3a²+2b ; 3b²+2a}=3a²+2b ou 3b²+2a
Premier cas: M(a,b)=3b²+2a ==> 3b²+2a>=3a²+2b ==> (a-b)(3(a+b)-2)=<0
donc (a>=b et a+b=<2/3) OU (a=<b et a+b>=2/3)

Deuxiéme cas: M(a,b)=3a²+2b donc 3a²+2b>=3b²+2a => (a-b)(3(a+b)-2)>=0
Deux cas aussi: (a>=b ET a+b>=2/3) Ou (a=<b ET a+b=<2/3)
(C'est le méme cas en haut... donc il suffit de discuter selon une)

Le cas d'égalité de a et b c'est celui qui va donner la solution final qui est a=b=-1/3

Bienvue Mr LHASSAN.

Dijkschneier a écrit:

........est-ce le fait d'avoir dit rapidement que le maximum est supérieur à la moyenne arithmétique ?
Si c'est en effet cela, sachez que la démonstration à cela est très simple : le maximum de deux quantités A et B est soit A, soit B. S'il était A, alors M(A,B)=A>=A et M(A,B)=A>=B, et par somme M(A,B)>=(a+b)/2. De même si le maximum était B. Avec égalité si et seulement si A=B.

BJR Dijkschneier !!

Il ne faut pas te sentir froissé .... d'autant plus que je n'ai pas visé ta Démo particulièrement !!!
J'ai dit que les différentes Propositions de Solutions manquaient de netteté à MON GOUT ... et celà reste mon opinion personnelle .
Maintenant lorsque tu écris :
<< M(A,B)=A>=A et M(A,B)=A>=B, et par somme M(A,B)>=(A+B)/2 >>
Celà est VRAI et Je le sais , elle résulte de l'Identité suivante :
Max(A;B)=(1/2).{A+B+|A-B|}

MAIS c'est ce qu'il y a après :
<< M(a;b) >= .............................. >=(-1/3) >>

Il est CLAIR pour tout le Monde que (-1/3) est un MINORANT de M(a;b)
MAIS , il n'est pas si IMMEDIAT de montrer que ce minimum est ATTEINT et de surcroit pour a=b=-1/3 .

J'espère que tu as compris ma pensée !! Celà étant :
Je trouve que Tu fais du Bon Job sur le Forum par tes réponses pertinentes et ta présence assidue .

Bon Dimanche à Vous Toutes et Tous !!

Amicalement . LHASSANE

salut je crois qu'on va passez tous le prochain teste et si on repend 4/8 exercice on peu passez a la 2eme étape

je ne sais pas , mais quand afficher les resultats
+
moi aussi j'ai trouver les memes reponses a vous
1/x=y=z=1/670
2/0
3/-1/3=a=b
jai utilise les fonctions
4/90 avec el kashi :p

pour le 2eme exo j'ai une petite methode on va diviser le somme a 2 parties
S=(x+1)^5 +(x+1)^4(x-1)+(x+1)^3(x-1)²
et S'=(x-1)^5+(x-1)^4(x+1)+(x-1)^3(x+1)²
dans la 1er partie on refactor par (x+1)^3 et dans la 2eme partie par (x-1)^3 puis on va trouver S+S'=(3x²+1)[(x+1)^3+(x-1)^3]=0
et a la fin on aura x=0

Bonsoir,je suppose qu'on a passé le même,donc ça s'agit d'un Olympiade National wow fabuleux.
Ce que je veux savoir est-ce que tout les élèves qui ont passé cet olympiade passeront celui du vendrdi prochain?? cb de notes doit-on avoir pour se qualifier et quelles sont les étapes de ces Olympiades?? Merci d'avance.

oui !! tout les élèves qui ont passé cet olymp, passeront celui du vendredi prochain