problème N°50 de la semaine (09/10/2006-15/10/2006)

salut
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Merci

Bonjour,

Solution - partielle - postée
partielle parceque j'en ai trouvé une infinité, mais probablement pas toutes.

voici la solution de PCO
Bonjour Samir,

Je suis surpris de ce problème qui me paraît insoluble : je ne pense pas
qu'on puisse trouver toutes les solutions. Il y en a une infinité, avec des
formes très différentes.

En voici quelques unes :

Problème : f de R dans R telle que f(f(f(f(x)))) = f(f(f(x))) + 2x pour tout
x de R.

1) deux solutions triviales :
On cherche des solutions de type f(x) = ax et il faut alors que a vérifie
a^4 = a^3 + 2
Soit deux solutions triviales :
f(x) = -x
f(x) = k*x avec k = (2 + (17+3racine(33))^(1/3) +
(17-3racine(33))^(1/3))/3 = 1,54368901...

2) combinaisons élémentaires des deux solutions triviales :
Soit A sous-ensemble de R+*
Soit B = {x*y*k^z, pour x dans {-1,+1}, y dans A et z dans Z, avec k
defini ci-dessus}
Alors la fonction f(x) définie ci-dessous est une solution au problème :
f(x) = (k+1)x*i_B(x) - x avec i_B(x) = fonction caractéristique de B

3) combinaisons plus complexes :
Soit la suite x_n définie ainsi :
x3 > x2 > x1 > x0 > 0
x_(n+4) = x_(n+3) + 2*x_n pour tout n >= 0
Soit g(x) quelconque continue croissante définie sur [x0,x4[ et telle que :
g(x0) = x1, g(x1) = x2, g(x2) = x3, g(x3) = x4
On définit alors g(x) de proche en proche sur [x_(n+4), x_(n+5)[ pour n >=0
par :
u parcourt [x_n, x_(n+1)[
v = g(g(g(u))) parcourt alors [x_(n+3),x_(n+4)[
g(v) parcourt [x_(n+4), x_(n+5)[
g (g(v)) = g(v) + 2u
g(x) est alors définie sur [x0, +oo[

Soit x'3 > x'2 > x'1 > x0 et g' une autre fonction définie sur [x0, +oo[ de
la même manière.

Alors la fonction f(x) définie ci-dessous est une solution au problème :
pour x dans ]-oo, -x0] f(x) = -g'(-x)
pour x dans ]-x0, x0[ f(x) = -x
pour x dans [x0, +oo[ f(x) = g(x)

4) .... Il y a certainement plein d'autres solutions, au-delà de l'infinité
donnée ci-dessus.


PCO

Bonjour à tous,
le problème de la semaine ne s'affiche pas sur mon écran, je vois un message vide !
Faut-il un plugin spécial ?

forzaitalia2 a écrit:

Bonjour à tous,
le problème de la semaine ne s'affiche pas sur mon écran, je vois un message vide !
Faut-il un plugin spécial ?

nan c bizzare , c juste une image hebergé sur imageshack.us

voila le probleme :

Trouver toutes les applications de IR--->IR telles que :

pour tout x appartenant a IR :

(fofofof)(x) = (fofof)(x) + 2x

Slt; Dsl Moi.
MErci.

Solution Postée.
voici la solution de Pilotemig29
on f0f0f0f = f0f0f + 2x
c a d , f0f0f0f - f0f = 2x

donc quel que soit x de R : f0f - f = 2x
Supposons f une bijection de R sur R.
donc : x - 2x = f
d'ou ; f = -x

PAR : Pilotemig29
Merci.

salut tout le monde
mon intuition ma dit que la seule solution du problème est :
f(x) = - x !!! mais il faux le prouver!!!
aissa

f(x)=-x ne marche pas.
Mais quand je vois comment résoudre la simple équation f^2(x)=2x (f^2 étant l'itérée de f),je me dis qu'il doit y avoir une infinité de solutions de types différents.Alors je renonce.

Kendor a écrit:

f(x)=-x ne marche pas.

Si si !

Mais vous devriez arrêter de commenter publiquement le problème avant la fin de la semaine et l'affichage des résultats car cela fausse le jeu.

Bonne soirée.

C'est quoi la solution officiellement donnée par celui qui a posé la question, finalement ?

Bonsoir
solution postée
voici la solution de khamaths
Bonsoir

on peut facilement montrer que f est injective donc f^3 l'est aussi ==> f(0) =0
==> pr tt x€ IR* f(x) non nulle
on a aussi que f est surjective donc bijective de R vers R
l équation s'écrit aussi :
[f^4(x)-f^4(0)]/x-[f^3(x)-f^3(0)]/x =2
donc f^4 et f^3 sont dérivables en 0 et on a: f^4 '(0) -f^3 '(0) =2
puisque f est bijective alors f est aussi dérivable en 0 et le nombre dérivé f '(0) vérifie l'équation: t^4-t^3-2=0
donc: f '(0)= -1 ou f '(0)= a / a€[1;2]
donc au voisinage de 0 : f(x)= -x ou f(x)= ax
il reste à démontrer si ces deux solutions sont uniques...?
à suivre....
sauf erreurs.....

slt
moi j ai fais 2 chose
pr qqe x apartient a R+
g montrer que f(x)=-x
car fof-2x=f --> f(x) =-x si f est bijective
x appartient a R - ---> -x appartient a R+
dnc f(-X)=x dapres * dnc f(x)+f(-x)=0
c a d f(-x)=-f(-x)----> dnc f(x)=-x

ephemere a écrit:

Kendor a écrit:

f(x)=-x ne marche pas.

Si si !

Mais vous devriez arrêter de commenter publiquement le problème avant la fin de la semaine et l'affichage des résultats car cela fausse le jeu.

Bonne soirée.

Effectivement,c'était "f^4=f^3+2Id" et non pas "f^4=f^2+2Id".Je me suis trompé.
Je ne commenterai plus.Désolé.

Bonjour Cherif119

cherif119 a écrit:

g montrer que f(x)=-x
car fof-2x=f --> f(x) =-x si f est bijective
x appartient a R - ---> -x appartient a R+
dnc f(-X)=x dapres * dnc f(x)+f(-x)=0
c a d f(-x)=-f(-x)----> dnc f(x)=-x

Je suis désolé, mais il y a erreur ici :

1) d'une part fofofof = fofof + 2Id n'implique absolument pas fof = f + 2Id
Eventuellement (avec des hypothèses d'inversibilité) cela peut impliquer fof = f 2 f^[-1]of^[-1]

2) ensuite, fof = f + 2Id n'implique pas non plus, même si f est inversible, f = -Id.
Cela implique au mieux f = Id + 2f^[-1]

En fait, je pense que tu fais deux fois la même erreur.

--
Patrick

J'espère au moins que celui qui a posé la question a une solution à nous fournir!!!Je salive d'avance.