des exos d'olympiades

voilà quelques exo d'olympiades de math, certains sont très faciles et du niveau du collège, d'autres sont un peu difficiles (TC), mais ce qui est étonnant c que tous les exos ont été posé dans la meme épreuve(divisée en deux périodes).
amusez vous à le faire!
exercice1:
a et b et c sont des nombres réels tel que abc=1
montre que a/(ab+a+1) + b/(bc+b+1) +c/(ca+c+1) =1
exercice2:
soit x et y deux nombres réels tel que (x-y)(3x-2y)=2xy
calcule (x+y)/(x-y)
exercice3:
dans un panier il ya 81 balles similaires qu'on peut pas distinguer entre eux. mais une balle est plus légère que les autres balles.
en utilisant une balance de deux plateaux 4 fois, comment trouverez vous cette balle?
exerciec4:
x est un nombre réel,
prouve que cos(2x)=2cos²(x)-1
exerciec5:
résourdre l'équation 6x²-23x²+16x-3=0 si vous savez qu'il comprend deux solutions l'un est l'inverse de l'autre.
exerciec6:
ABC est un triangle isocèle et rectangle en C.
D et E sont deux 2 points tel que D £[AC] et E £[BC] et CD=CE.
les deux droites perpendiculaires sur (AE) et qui passent par D et C coupent(AB) en K et L successivement.
montre que KL=LB.

exercice2°

(x+y)/(x-y)=(3x²-2y²+xy)/(2xy)

exercice3:
dans un panier il ya 81 balles similaires qu'on peut pas distinguer entre eux. mais une balle est plus légère que les autres balles.
en utilisant une balance de deux plateaux 4 fois, comment trouverez vous cette balle?


on divise 81par 3 =27 on mais 27 et 27 balls autre dans 2plateaux c"est le plateaux est desequilibre on prend le plateau plus legere c'est il ne fait pas desequilibre in prend la27 ball qui reste d'hors

puis on devise 27 par 3 on obtien 9et 9 dans 2plateau de balance est l'autre d'hors

si il fais dequilibre on prend la plus legere et comme ca........

puis on fais la meme chose avec 9 ball

on divise 9par 3


enfin il reste que 3 1et 1 dans les plateaux de balence


alosrs et man facile d'avoir la plus legere

exerciec4:
bon je sais pas si c est du tronc commun,
on sais que cos(a+b)=cosa.cosb-sina.sinb
alors cos(x+x)=cos(2x)=cos²x-sin²x=cos²x-1+cos²x=2cos²x-1

sami a écrit:

exerciec4:
bon je sais pas si c est du tronc commun,
on sais que cos(a+b)=cosa.cosb-sina.sinb
alors cos(x+x)=cos(2x)=cos²x-sin²x=cos²x-1+cos²x=2cos²x-1

ce n'ai pas la meth de tc

badr a écrit:

sami a écrit:

exerciec4:
bon je sais pas si c est du tronc commun,
on sais que cos(a+b)=cosa.cosb-sina.sinb
alors cos(x+x)=cos(2x)=cos²x-sin²x=cos²x-1+cos²x=2cos²x-1

ce n'ai pas la meth de tc

c pour ceci que j ai ecris cette phrase au debut

sami a écrit:

badr a écrit:

sami a écrit:

exerciec4:
bon je sais pas si c est du tronc commun,
on sais que cos(a+b)=cosa.cosb-sina.sinb
alors cos(x+x)=cos(2x)=cos²x-sin²x=cos²x-1+cos²x=2cos²x-1

ce n'ai pas la meth de tc

c pour ceci que j ai ecris cette phrase au debut

oki pas grave mais votre solution n'est pas la seule

exerciec5:
résourdre l'équation 6x²-23x²+16x-3=0 si vous savez qu'il comprend deux solutions l'un est l'inverse de l'autre

Salut à tout le monde !

Exercice1 :

abc = 1

On a b/(bc+b+1) = ab/(ab+a+1)
a/(a+ab+1) + ab/(ab+a+1) = c(a+ab)/c(ab+a+1) = (ac+a)/(1+ac+c)
D'où a/(a+ab+1) + b/(bc+b+1) +c/(ca+c+1) = 1

Merci rim hariss pour les exos

Intéréssants exo, j'aurais bien aimer les recevoir quand j'étais en T.C, y aurait au moins du challenge

Conan a écrit:

exerciec5:
résourdre l'équation 6x²-23x²+16x-3=0 si vous savez qu'il comprend deux solutions l'un est l'inverse de l'autre

Bonsoir Conan et Tous les Autres !!!
C'est sûrement P(X)=6X^3-23.X^2+16.X-3 ; il va falloir montrer qu’il existe a réel non nul tel que
P(a)=0 et P(1/a)=0 aussi . Cela fournira deux équations qui sont :
P(a)=6a^3-23a^2+16a-3=0
P(1/a)=6a^(-3)-23a^(-2)+16a^(-1)-3=0 .Ce système s’écrira aussi :
6a^3-23a^2+16a=3
3a^3-16a^2+23a=6
On procède à l’élimination de a^3 entre les 2 équations ci-dessus et on trouve :
3a^2-10a+3=0
La résolution de cette équation du Second Degré donnera a=3 ou a=1/3
On vérifie effectivement que P(3)=P(1/3)=0
Pour trouver la 3ème racine du polynôme P(X) , il suffira d’effectuer la division euclidienne de P(X) par le polynôme
(X-3).(X-1/3)=X^2-(10/3).X+1
On trouvera alors :
P(X)= (X^2-(10/3).X+1).(6.X-3)
Par conséquent les 3 racines de P(X) sont 3 , 1/3 et 1/2 .
LHASSANE
PS : J’espère n’avoir utilisé que des outils que vous connaissez ! A défaut , veuillez m’en excuser .

salut les matheux! je suis heureuse que vous avez aimer les exos!
pour badr,
l'exercice 2: comment avez vous trouver cela?
exercice3: correct, très bien
pour sami,
l'exercice 4, la réponse est corrrecte mais on a pas étudié cette regle encore, cherchez encore une autre méthode de TC!
pour relena,

Citation :

abc = 1

On a b/(bc+b+1) = ab/(ab+a+1)
a/(a+ab+1) + ab/(ab+a+1) = c(a+ab)/c(ab+a+1) = (ac+1)/(1+ac+c)
D'où a/(a+ab+1) + b/(bc+b+1) +c/(ca+c+1) = 1

c correct sauf cette petite faute !
et finallement pour monsieur bourkabi je ne pourrais dire quelque chose de plus, c totalement juste!

mais moi j'ai fait une autre méthode que je vais poster plus tard après voir ce que vous avez à dire sur le dernier exo ( le plus difficile) et le quatrième aussi!
n'oubliez pas! l'initiative en premier lieu est pour les TC mais s'ils ne trouvent pas la solution, alors les autres à vous de jouer!

Citation :

pour badr,
l'exercice 2: comment avez vous trouver cela?

si x#y et x#-y alors

1/(x-y)=(3x-2y)/2xy

on multipe avec (x+y)

(x+y)/(x-y)=(3x²-2y²+xy)/(2xy)

badr je pense qu'on doit trouver la valeur scalaire a x+y/x-y
on a (x-y)(3x-2y)=2xy
donc 3(x-y)°2+xy-y°2=2xy
apres des calcules on trouve
3(x-y)°2==((x-y)°2-x°2+y°2))/2
en obtient en fin
3((x-y)/(x+y))°2+(x-y)/(x+y)-1/2=0
on pose X=(x-y)/(x+y)
puis on trouve x1 et x2 en utilisant delta
et on obtient (x+y)/(x-y )prend deux valeurs
1/x1 et 1/x2

badr a écrit:

exercice2°

(x+y)/(x-y)=(3x²-2y²+xy)/(2xy)

pardon badr mais il faut que tu nous démontre comment tu l'aura pr voir si c'est juste
pour moi chui entrain de l'essayer lol

badr a écrit:

sami a écrit:

exerciec4:
bon je sais pas si c est du tronc commun,
on sais que cos(a+b)=cosa.cosb-sina.sinb
alors cos(x+x)=cos(2x)=cos²x-sin²x=cos²x-1+cos²x=2cos²x-1

ce n'ai pas la meth de tc

PRODUIT SCALAIRE (c'est ca la méthode des T.c)

Voila comment il a fait Badr (meme si c'est faux, on cherche un nombre et non une formule):
(x-y)(3x-2y)=2xy
(3x-2y)/2xy = 1/(x-y)
(x+y)(3x-2y)/2xy = (x+y)/(x-y)
(x+y)/(x-y) = (3x²-2y²+xy)/2xy

codex00 a écrit:

badr a écrit:

sami a écrit:

exerciec4:
bon je sais pas si c est du tronc commun,
on sais que cos(a+b)=cosa.cosb-sina.sinb
alors cos(x+x)=cos(2x)=cos²x-sin²x=cos²x-1+cos²x=2cos²x-1

ce n'ai pas la meth de tc

PRODUIT SCALAIRE (c'est ca la méthode des T.c)

oui c la methode pour la generale : cos(a+b)=...

merci codex00 de m'avoir repondu !

ninatop1 a écrit:

merci codex00 donc on doit calculer x+y/(x-y) cvd =un nombre yak

Ouais c'est ca

codex00 a écrit:

Voila comment il a fait Badr (meme si c'est faux, on cherche un nombre et non une formule):
(x-y)(3x-2y)=2xy
(3x-2y)/2xy = 1/(x-y)
(x+y)(3x-2y)/2xy = (x+y)/(x-y)
(x+y)/(x-y) = (3x²-2y²+xy)/2xy

OUI c ça , voici quelques indices, qui vont vous aider à résoudre l'exo
https://mathsmaroc.jeun.fr/College-c8/Espace-defi-f18/exercice-p26256.htm#26256

neutrino a écrit:

codex00 a écrit:

Voila comment il a fait Badr (meme si c'est faux, on cherche un nombre et non une formule):
(x-y)(3x-2y)=2xy
(3x-2y)/2xy = 1/(x-y)
(x+y)(3x-2y)/2xy = (x+y)/(x-y)
(x+y)/(x-y) = (3x²-2y²+xy)/2xy

OUI c ça , voici quelques indices, qui vont vous aider à résoudre l'exo
[url=https://mathsmaroc.jeun.fr/College-c8/Espace-defi-f18/exercice-p26256.htm#26256

https://mathsmaroc.jeun.fr/College-c8/Espace-defi-f18/exercice-p26256.htm#26256[/quote[/url]]

j'ai deja fait cet exo quelque part dans le forum !!!

mais je pense que ca change pour l'enonce non po pour la question

ninatop1 a écrit:

mais je pense que ca change pour l'enonce non po pour la question

, 7sbou x bidalalat y , w 3awdou

pur conan: c moi ki as proposé un exo pareil, toi tu as utilliser delta et moi la factorisation