Continuité

Salut à vous
Je vous propose ces deux exos:

Salut Sami :
pour l'exo 30:
1) il est clair que E#$; en effet:
on pose g(x)=f(x)-x alors E={x£[a;b]/ g(x)=0}
alors on a:
a<= f(a)<= b et a <= f(b) <= b (car f([a;b])C[a;b])
alors f(a)-a >=0 et f(b)-b <=0 => g(a)*g(b) <0 alors g(x)=0 admet une solution sur [a;b]
donc il existe n£[a;b] tel que: g(n)=0 => f(n)=n.
alors puisque n£E alors E#$ ($: ensemble vide)
2) on a x£[a;b] alors f(x)£f([a;b]) et puisque E est define par f(x)=x alors f([a;b])=[a;b]=E.
autre methode:
on a: pr tt x£E <=> f(x)£E <=> f([a;b])CE (1).
on aussi pr tt x£[a;b] <=> f(x)£f([a;b]) <=> x£f([a;b]) <=> ECf([a;b]) (2).
alors d'aprés (1) et (2) E=f([a;b])
3)
puisque f est fonction continue surjective sur un intervalle [a;b] alors l'image d'une intervalle par f est une intervalle
alors f([a;b]) est une intervalle d'où E est une intervalle de IR (car [a;b])l'est aussi.
Exo 31:
-->supposons que f est impair alors soit x£IR+ et -x£IR-:
alors pr tt x£IR+:f(x)=|f(x)| est puisque f est impair alors:
f(-x)=-f(x) <=> |f(-x)|=-|f(x)| alors c'est faux car si f est impair |f(-x)|=|-f(x)|=|f(x)|#-|f(x)| don f est pair.
-->on peut aussi montrer directement:
soit x£IR+ et -x£IR-:
|f(x)|=f(|x|) <=> |f(-x)|=f(|-x|)=f(|x|)=|f(x)| alors:
si on pose g(x)=|f(x)| on aura: g(-x)=g(x) alors g est pair.
____________________________________________________________
LaHoUcInE
@++

merci

mathema a écrit:

.......
Exo 31:
-->supposons que f est impair alors soit x£IR+ et -x£IR-:
alors pr tt x£IR+:f(x)=|f(x)| est puisque f est impair alors:
f(-x)=-f(x) <=> |f(-x)|=-|f(x)| alors c'est faux car si f est impair |f(-x)|=|-f(x)|=|f(x)|#-|f(x)| don f est pair.
-->on peut aussi montrer directement:
soit x£IR+ et -x£IR-:
|f(x)|=f(|x|) <=> |f(-x)|=f(|-x|)=f(|x|)=|f(x)| alors:
si on pose g(x)=|f(x)| on aura: g(-x)=g(x) alors g est pair......

BSR mathema !!
Apparemment tu amorces là une démonstration par l'absurde !!
Ce là dit , si tu supposes f NON PAIRE celà ne veut pas dire qu'elle est IMPAIRE .....
Maintenant ta Démo est à revoir sérieusement !!
Je vais de mon côté réfléchir à cet Exo .

BSR à Toutes et Tous !!!
BSR sami !!
Je pense que ton Exo 31 est FAUX !!
Et voici un contre-exemple EXPLOSIF :
Soit f : x ---------> f(x)=x
application continue de IR dans IR
On a bien f(|x|)=|x| et |f(x)|=|x| donc f(|x|)=|f(x)| pour tout x
MAIS f n'est pas PAIRE !!!

PS : Je suspecte qu'il manque quelquechose !! Et si on rajoutais la chose suivante :
<< Pour tout x dans IR , f(x)<>0 >>
est ce que celà peut résoudre le problème ???