arctan ((V(1+x^2)-1)/x)= 1/2 arctan(x)

montre que
(Vx$IR-{0}) arctan ((V(1+x^2)-1)/x)= 1/2 arctanx

Titre édité

alors?personne?

on pose tan u =x avec u e ]-pi2.pi/2[
(V(1+x²)-1/x)=((1/cosu)-1)/tanu=1-cosu/sinu et on sait que
1-cosu=1-2cos²(u/2)+1
etsinu=2sin(u/2)cos(u/2)
on remplace on trouve
1-cos²u/2/sinu/2cosu/2=sin²u/2/sinu/2*cosu/2=sinu/2/cosu/2=tanu/2
donc arctan((V(1+x^2)-1)/x)=arctan(tanu/2) et comme u/2 e ]-pi/2pi/2[ alors =u/2=1/2 arctanx

merci

x²+1> x² ==> V( x²+1) +1 > lxl
==> lxl/(V(x²+1) +1) < 1
==> -1< x/(V(x²+1) +1) <1
==> -pi/4 < arctan x/(V(x²+1) +1) < pi/4
==> -pi/2 < 2arctan x/(V(x²+1) +1)< pi/2

arctan x= 2 arctan (x/(V(x²+1) +1))
<==> x = tan (2 arctan (x/(V(x²+1) +1))
<==> .....
<==> x=x
cela est juste dc (Vx$IR-{0}) arctan ((V(1+x^2)-1)/x)= 1/2 arctanx