exercice

On considère la fonction f:R--->R définie par
f(x)=2Arctg(rac(x²+1)-x) si x>=0
f(x)=2Arctg((rac(x²+1)-1)/x) si x<0

1)-montrer que : f(x)=pi/2-arctgx si x>=0
f(x)=arctgx si x<0
2)-f ademet-elle une limite à droite, une limite à gauche en 0? f est elle continue en 0?

1-x>0 f(x)=2arctan(sqrt(x²+1)-x) est continue stric décroissante donc bij de ]0;+0[ vers ]o,pi/4[
f(x)=y y élé& de]o,pi/4[
ssi sqrt(x²+1)-x=tany/2 ssi sqrt(x²+1)=tany/2 +x ssi x²+1=tan²y/2- 2xtany/2+x² ssi
1/x=2tany/2) /(1-tan²y/2)=tan(y) ssi x=tan(pi/2-y) ssi arctan(x)=pi/2-y
car pi/2-y est dans ]-pi/2,pi/2[
donc si x>0 alors f(x)=y=pi/2-arctan(x).
de meme si x<0
aissa lhouari

merci bcp