bon exercice

salam o alikom

soit la fonction definie par: fn(x)=ln(1+nx)

montrer que l'equation fn(x)=x admet deux solution exactement

alphan et 0

montrer que ln(n)<alpha(n)<2ln(n)

slt!!

Merci pour l'exo spider!!

(on le fait avec bijenction !!)

plus important c'est la derniere question

A+

bonjour

attention :
pour n=0

fo est constante ===========> une seule solution x=0

pour n > 0

fn est d'éfinie sur ]-1/n , +inf[

soit gn(x) = ln(1+nx) - x

variations de gn
th des val .int.

fn(x) = x <==> gn(x) = 0

tu trouves deux solutions : 0 et an > 1-1/n

je reviens pour plus d'éclaircissement

g'n(x) = n/(1+nx) - 1 = (-nx+n-1)/ (1+nx)

gn(x) est max pour x= 1-1/n

or pour n=1

g1(x) est max pour x=0

g1(0)=0

encore une solution unique
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supposons alors n >= 2
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max gn(x) = ln(1 + n(1-1/n)) - 1 + 1/n = ln(n) -1 +1/n

il faut alors prouver que c'est positif ?

on considère h(x)=ln(x) -1 +1/x , avec x>=2

h'(x) = 1/x - 1/x^2 = 1/x.( 1- 1/x) > 0 car x>=2

h est croissante ===> h(x) >= h(2) > 0

donc max gn(x) = ln(n) -1 +1/n > 0
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lim gn(x) (en -1/n+) = -inf +1/n = -inf

lim gn(x) (en +inf) = lim x.[(ln(1+nx)/x - 1]

= limx.[ ln(x) / x + ln( n+1/x)/x - 1]

= (+inf).[ 0 +0 -1] = -inf
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sur ]-1/n, 1-1/n[

gn est cont. strict croisste et change de signe , donc s'annule une seule fois et on remarque que c'est en 0

sur ] 1-1/n , +inf[

gn est cont. strict.décroisste et change de signe , donc s'annule une seule fois en an.

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encadrement de an:


on a gn(an) =0 <==> ln(1+n.an) - an =0 <==> 1+n.an = e^an

calculons : e^an - n = 1+n.an - n = n( an - 1+1/n)

comme : an > 1-1/n ====> e^an - n > 0

donc e^an > n ====> an > ln(n)
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soit t(x) = 2ln(x) -x + 1/x avec x >=1

t'(x) = 2/x - 1 - 1/x^2 = -(x-1)^2 / x^2 < 0

donc t est décroissante ====> t(x) < t(1) = 0

remarque:
gn(n- 1/n) = t(n) < 0

===> an < n-1/n ===> n.an < n^2 -1 ===> 1+n.an < n^2

===> ln(1+n.an) < 2ln(n) ====> an < 2ln(n)

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conclusion : ln(n) < an < 2ln(n)