point invariant !!

f est une fonction definie de I = [a,b] vers [a,b] et elle est continue sur I
f admet un point invariant (3ala l a9al ) sur [a,b]
supposons que il y a un K ; K appartient a [0.1[ : /f(x)-f(x)/ =<K /x-y/
- montrez que f admet un unic point invariant ( no9ta samida )

/../ : valeur absolu
=< : inferieur ou egal

merci d'avance
salut

on dois demontrer que f admet un unique point invariant dans IR ou I??????

verginia a écrit:

f est une fonction definie de I = [a,b] vers [a,b] et elle est continue sur I
f admet un point invariant (3ala l a9al ) sur [a,b]
supposons que il y a un K ; K appartient a [0.1[ : /f(x)-f(x)/ =<K /x-y/
- montrez que f admet un unic point invariant ( no9ta samida )....

BRJ à Toutes et Tous !!
BJR verginia !!!!
Il y a deux problèmes qui sont posés dans ton Exo !!
1) Unicité du point fixe ( ou point INVARIANT ou no9ta samida en Arabe !! )
En effet si L1 et L2 sont dans [a;b] et vérifient f(L1)=L1 et f(L2)=L2 alors on peut écrire |f(L1)-f(L2)|=|L1-L2| d'une part ,
d'autre part |f(L1)-f(L2)|=<K.|L1-L2|
donc |L1-L2|=<K|L1-L2|
Si L1 était différent de L2 alors |L1-L2| serait différent de ZERO et de là , après simplication , on aurait 1=<K ce qui est ABSURDE puisque K appartient à [0.1[ .
Donc nécessairemant L1=L2

2) Existence d'un point fixe de f : c'est un peu plus difficile !!
D'abord on montre que ta condition implique que f est continue sur [a;b]
Maintenant ; on considère la suite {un}n définie par :
uo=a ( par exemple ) et u(n+1)=f(un) pour tout entier n >=1 .
C'est une SUITE RECURRENTE .
On montre que pour toit n , a=<un=<b et que {un}n est convergente dans [a;b] vers une limite L
puis on prouve par continuité que f(L)=L
Je pense que c'est un difficile actuellement car , en Cours , vous n'êtes pas encore arrivés aux suites récurrentes etc ....
Celà reste une indication tout court !!!!

salut
pour l'existence
prends g(x)=f(x)-x
g(a)=f(a)-a>=0 car l'application est vers [a,b] et g(b)=f(b)-b=<0 pour la même raison
donc g(a)g(b)=<0 donc selon TVI il y a un x ...

sami a écrit:

salut
pour l'existence
prends g(x)=f(x)-x
g(a)=f(a)-a>=0 car l'application est vers [a,b] et g(b)=f(b)-b=<0 pour la même raison
donc g(a)g(b)=<0 donc selon TVI il y a un x ...

BJR sami !!
Je n'ai pas pensé au TVI !!
Where was my head today !!!!!
Mais , toi , tu oublies l'essentiel !! C'est que g est CONTINUE puisque f l'est aussi puisque |f(x)-f(y)|<=K.|x-y| pour tout x,y dans [a;b] avec K constante fixe et 0<=K<1 .

Oeil_de_Lynx a écrit:

verginia a écrit:

f est une fonction definie de I = [a,b] vers [a,b] et elle est continue sur I
f admet un point invariant (3ala l a9al ) sur [a,b]
supposons que il y a un K ; K appartient a [0.1[ : /f(x)-f(x)/ =<K /x-y/
- montrez que f admet un unic point invariant ( no9ta samida )....

BRJ à Toutes et Tous !!
BJR verginia !!!!
Il y a deux problèmes qui sont posés dans ton Exo !!
1) Unicité du point fixe ( ou point INVARIANT ou no9ta samida en Arabe !! )......

2) Existence d'un point fixe de f
D'abord on montre que ta condition implique que f est continue sur [a;b]
A l'aide du TVI appliqué à l'application CONTINUE sur [a;b]
x-------------> g(x)=f(x)-x
Il existe un L dans [a;b] tel que g(L)=0 donc f(L)=L
Maintenant ; on considère la suite {un}n définie par :
uo=d avec d quelconque dans [a;b] et u(n+1)=f(un) pour tout entier n >=1 .
C'est une SUITE RECURRENTE .
On montre que pour toit n , a=<un=<b et que {un}n est convergente dans [a;b] vers une limite A
puis on prouve par continuité que f(A)=A et ainsi A=L par Unicité du point fixe de f sur [a;b] .
La curiosité ICI c'est que la suite {un}n convergera toujours vers l'unique Point Fixe de f sur [0;1] et ceci quelque soit le choix de uo=d dans (0;1] .
Je pense que c'est un difficile actuellement car , en Cours , vous n'êtes pas encore arrivés aux suites récurrentes etc ....

Rectification portée après le Post de sami !!
Merci encore sami !!!!

est ce que je vais employer le TVI !!!

je viens de lrie tout les posts et je crois que Mr ODL et sami on tout dit
pour montrer l'existence de ce point on fait tvi comme a montre Mr sami
pour montrer l'unicite de ce point on fait la methode par absurde citee par Mr ODL
je crois que c'est ca
sauf erreur

Salut
C'est pas grave Mr Lahssane ^^
pour l'info ce genre de fonctions ça s'apelle fonction lipschitzienne.
alors pour démontrer qu'une fonction est continue on peut démontrer que c'est une fonction lipschitzienne puis on conclut
A+

sami a écrit:

Salut
C'est pas grave Mr Lahssane ^^
pour l'info ce genre de fonctions ça s'apelle fonction lipschitzienne.
alors pour démontrer qu'une fonction est continue on peut démontrer que c'est une fonction lipschitzienne puis on conclut
A+

Oui c'est celà !!
En fait ,ici on dit que f est une CONTRACTION car 0<=K<1
Sans aucune condition sur K ( seulement K>=0 ) on dit que f est K-Lipschitzienne . Ce n'est pas à retenir !!!
I est un segment non vide de IR i.e I=[a;b] avec a<b
{ Fonction Lipschitzienne sur I } ===> { Fonction continue sur I }
mais réciproque FAUSSE !!
par contre :

{ Fonction continue et à Dérivée Première Bornée sur I } ===> { Fonction Lipschitzienne sur I }

Saurais-tu démontrer que la suite {un}n est convergente vers un point fixe de f sur [a;b]
Moi , je le sais et j'attendrais avant de vous filer la solution !
Très Belle !!!

Salut Mr.Lahssane
bon on vient de terminer la leçon des suites ^^ bon pas tout à fait mais il reste quelques choses,alors attendez jusqu'à ce que je m y habitue et je vais voir votre question
A+

on a U0=d et Un+1=f(Un)
et f definie de [a.b] vers [a.b]
demontrons que Un appartient a [a.b]
recurence pour n=0 U0= d e [a.b]
on suppose pour n et on demontre pour n+1
soit n de N
on a Un e [a.b]=>f(Un) e f([a.b])=[a.b] donc Un+1 e [a.b]

Un convergente =>limUn=a' et limUn+1=a' /a' e [a.b]
f continue en [a.b] donc limf(Un)=f(a') ==>limUn+1=f(a')

donc f(a')=a' donc (Un) converge vert le point fixe de F sur [a.b]
sauf erreur

BJR à Toutes et Tous !!
BJR L !

Ce que tu dis est tout à fait JUSTE !!
Cependant , ce n'est pas à cette Démo que je pensais !!
Mais plutôt à celle-ci que je trouve séduisante à mon goût !!
La voilà :
d'après les questions précédentes , f possède UN SEUL POINT FIXE L dans [a;b]
On a par définition de f :
|xn-L|=|f(x(n-1))-f(L)|<=K.|x(n-1)-L|<=K.K|x(n-2)-L|<=.....
On peut alors démontrer , par récurrence sur n que :
|xn-L|<=K^n .|xo-L|

Comme 0<=K<1 alors la suite {K^n}n converge vers ZERO et enfin le Théorème des Gendarmes garantira que :
Lim {xn-L ; n----->+oo }=0 donc {xn}n CONVERGE bien vers L .

ah ok je vois
j'ai meme pas pense a f contcion Lipschitzienne

A exercice classique, résolution toute aussi classique!
N'est-ce pas, Mr ODL? ^^

Bonsoir
c'est la méthode de O.D.L qui est juste car il a démontré que la suite est convergente et que sa limite est bien le point fixe de la fct f.