demontrer le cas d'egalite de IAG(AM GM)

sigma(k variant de 1 jusqua n)(ak/n)^n=PI(k variant de 1 jusqua n)ak
a1=a2.....=an

merci

indice : il suffit de montrer que si prod(a_k)=1 et sum(a_k)=n ==> a_k=1

svp qui peux nous donner une démonstration de linegaliter
Am-GM car je pense que dans lolympiade on a pas le drois de l utiliser sans démonstration

? a écrit:

svp qui peux nous donner une démonstration de linegaliter
Am-GM car je pense que dans lolympiade on a pas le drois de l utiliser sans démonstration

Salut

Par concavité de la fonction ln , on peut dire que pour tout ak (k variant de 1 jusqu'a N) :

ln ( (a1+a2+......+aN) / N ) >= (1/N)ln a1 + (1/N)ln a2 + ...... + (1/N)ln aN
(inégalité de jensen, mais renversée ^^)
ce qui equivaut a dire que :

ln ( (a1+a2+......+aN) / N ) >= (1/N) ln (a1*a2*....*aN)

donc on a

ln ( (a1+a2+......+aN) / N ) >= (ln (a1*a2*....*aN) )^(1/N)

ce qui est équivalent a :

(a1+a2+......+aN) / N >= (a1*a2*....*aN) )^(1/N)

Citation :

svp qui peux nous donner une démonstration de linegaliter
Am-GM car je pense que dans lolympiade on a pas le drois de l utiliser sans démonstration

tu plaisante! non!
tu peux meme pas ecrire son nom quand tu l'utilise c'est trés connu,meme trivial .