Bonjour,
L'équation est : f(sqrt(2)x) + f((4+3sqrt(2))x) = 2f((2+sqrt(2))x)
En constatant que 2+sqrt(2) = (sqrt(2)-1)(4+3sqrt(2)) et que sqrt(2) = (sqrt(2)-1)(2+sqrt(2)), on a :
f(x) = 2f(kx) - f(k^2x), avec k=sqrt(2)-1
pour x > 0, écrivons f(x) = g(-ln(x)/ln(k)). On a :
g(x) = 2g(x-1) - g(x-2)
g(x) - g(x-1) = g(x-1) - g(x-2)
g(x) - g(x-1) = p(x) où p(x) est une fonction quelconque vérifiant p(x+1) = p(x)
g(x) = g(x-1) + p(x)
= g(x-[x]) + [x]p(x)
la solution générale pour g est alors :
Soit u(x) une fonction quelconque définie sur [0,1[
Soit p(x) une fonction quelconque définie R et telle que p(x+1) = p(x)
g(x) = u(x-[x]) + [x]p(x-[x])
En faisant le même raisonnement pour x<0, on a :
La solution générale pour f est donc :
Soit a réel quelconque
Soit u(x) et v(x) deux fonctions définies sur [0,1[
Soit p(x) et q(x) deux fonctions définies sur R et telles que p(x+1 = p(x) et q(x+1) = q(x)
La fonction f définie comme suit répond au problème (et toutes les solutions sont de cette forme) :
Pour x = 0 f(x) = a
Pour x > 0 f(x) = u(-ln(x)/ln(sqrt(2)-1) - [-ln(x)/ln(sqrt(2)-1)]) + [-ln(x)/ln(sqrt(2)-1)]*p(-ln(x)/ln(sqrt(2)-1) - [-ln(x)/ln(sqrt(2)-1)])
Pour x < 0 f(x) = v(-ln(-x)/ln(sqrt(2)-1) - [-ln(-x)/ln(sqrt(2)-1)]) + [-ln(-x)/ln(sqrt(2)-1)]*q(-ln(-x)/ln(sqrt(2)-1) - [-ln(-x)/ln(sqrt(2)-1)])
Bien sûr, toutes ces fonctions ne sont pas continues (mais ce n'est pas une contrainte de l'énoncé).
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Patrick
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