MACEDONIA2007: trouver toutes les fonctions f...

trouver toutes les fonctions f de R dans R telles que :
f(x^3+y^3) = x²f(x)+yf(y²) pour tout x et y de R

boukharfane radouane a ecrit :r£Q puis considérons une suite X(n) qui converge vers r£Q (tous ces étapes,je pense,sont bien connues)
il faut montrer que f est monotone ou continue .

comment peut-on mahmoud16 qu'une telle fonction définie par une équation fonctionelle est continue ou monotone?merci d'avance.

boukharfane radouane a écrit:

pour y=0 => f(x^3)=x^2f(x)
pour y=0 => f(y^3)=yf(y^2)
donc f(x^3+y^3)=f(x^3)+f(y^3)
posons m=x^3 et n=y^3 =>f(x+y)=f(x)+f(y)
.

Jusqu'ici c'est bon,continuons:
f etant de cauchy on a f(nx)=nf(x).
On a aussi f(x^3)=x^2f(x)=xf(x^2) donc pour x<>0 on a f(x^2)=xf(x).
f(-1)=-f(1) & f(1)=f(1)
On sait que 4x=(x+1)^2-(x-1)^2==>4f(x)=f((x+1)^2)-f((x-1)^2)
Et pour x^2<>1 on a alors 4f(x)=(x+1)f(x+1)-(x-1)f(x-1)=(x+1)(f(x)+f(1))-(x-1)(f(x)-f(1))
Ce qui donne après calcul f(x)=xf(1).
Donc pour tout x de IR :f(x)=xf(1)
réciproquement f verifie bien l'equation initiale.