pn(x) = x^n - x - 1, etudier xn.

pour tt n >= 2 pn(x) = x^n - x - 1
1- montrez que pn(x)=0 admet une unique solution xn dans ]1.2[
calculez x2
2- montrez que p(n+1) (xn) > 0 et deduisez que la suite xn est strictement decroisente
3- on considere lim xn = a quand n tend vers + infini
montrez que pn (a) < 0 et deduisez que (a^n) est une suite borné
concluez que lim xn = 1 quand xn tend vers + l infini
merci d avance
a+
verginia

Titre édité par exodian95

1) p'n(x)=nx^{n-1}+1

donc p'n(x)>0 <==> x>1/n^{1/n-1}

donc pn est strictement croissante sur ]1.2[ car ]1.2[ C ]1/n^{1/n-1},+oo[

et pn(1)=-1 et pn(2)=2^n-3

il est clair que 2^n-3>0 qlqsoit n>=2 car f(n)=2^n-3 est strictement croissante pr tt n>=2 donc f(n)>=f(2)>=0
et pn est continue donc par TVI Pn s annule une sul fois sur ]1.2[

2)p_{n+1}(xn)=xn^{n+1}-xn-1

on a pn(xn)=0 <==> xn^n-xn-1=0 <==> xn+1=xn^n

donc p_{n+1}(xn)=xn^{n+1}-xn^n=xn^n(xn-1)>0

car xn>1

maintenant supposons que x_{n+1}>=xn

donc p_{n+1}(x_{n+1})>=p_{n+1}(xn)

<==> p_{n+1}(xn)=<0

contradiction donc x_{n+1}<xn donc xn est strictement decroissante.

3) a=lim xn

puisque xn est decroissante on a pr tt n>=2 , xn>a

et puisque pn est strictement croissante on a : pn(xn)>pn(a)

donc pn(a)<0

donc a^n-a-1<0

<==> a^n<a+1

et puisque (a^n) est croissante (a>=1) donc (a^n) converge.

on a : 1=<a^n<a+1

donc pour n--->+oo on a tjrs a^n<a+1 , donc clairement a=1

(ps: solution detaillé )