petite question

calculer max(n^(1/n)) tq n est un entier

stifler a écrit:

bonsoir youssmath,
par récurrence et le max(n^(1/n)=1
sauf erreur

2^(1/2) >= 1 !!!!

bonsoir
pour avoir une idee sur cette suite il faut etudier les variation de la fonction f(x) = x^(1/x) .
nous avons f(x) = e^(ln(x)/x) donc f'(x) = [ [ 1 - ln(x) ]/ x² ]* e^(ln(x)/x) .
donc le signe de f' est de 1- ln(x) donc :
f' <= 0 ssi x >= e
f' > 0 ssi X < e .

donc si en reviens a la suite (n^(1/n)) il est facil de remarquer que le max (n^(1/n)) = 3^(1/3) = 0.43.....

il exsite bien evidement des demonstration beaucoup plus rigoureuse . mais j'éspere vous avoir aporter le minimum et sur tout que mon humble petite demo est juste .
cordialement e
stifler c'est pas 1.50 c'est 1.43..... observe bien ton graphe

BSR à Toutes et Tous !!
BSR e !!
Ton humilité t'honore au contraire !!!!
Ta démo est JUSTE et RIGOUREUSE ; cependant , comme on demande à déterminer Max{n^(1/n) ; n dans IN } et vu l'étude exhaustive de la fonction f que tu as faite !
Le Max de f est obtenu pour x=e , par conséquent les deux entiers les plus voisins de e sont n=2 et n=3 ; par suite
Max{n^(1/n) ; n dans IN }=Max{f(2);f(3)} à mon avis !!!

stifler a écrit:

bonsoir e,
merci pour ta remarque et ta démonstration que Mr.LHASSANE a bien sollicité et que je resollicité a mon tour ! mais je me pose une question et je m'adresse a vous monsieur LHASSANE si on peut comme vous avez fait je cite

Citation :

Le Max de f est obtenu pour x=e , par conséquent les deux entiers les plus voisins de e sont n=2 et n=3 ; par suite
Max{n^(1/n) ; n dans IN }=Max{f(2);f(3)} à mon avis !!!

est ce l'écriture la plus rapproché pour ne pas dire la plus juste ^^ ?

Je pense que oui !!
Pour n entier et n<=2 on est dans le secteur [0,e] sur lequel f est STRICTEMENT CROISSANTE donc on pourra écrire f(n)<=f(2)
Maintenant pour les entiers n tels que 3<=n , on sera dans le secteur [e;+oo[ sur lequel f est STRICTEMENT DECROISSANTE donc f(n)<=f(3)
Par conséquent un majorant des f(n) sera A=Max{f(2);f(3)} et comme A est un Max de 2 nombres , il est atteint donc A est le plus grand élément cherché !! Il reste à comparer f(2) et f(3) pour finaliser !!!!

Merci pour ces explications !

merci Mr LHASSANE et stifler vous m'envoyez ravi .