Des EXO OLYMPIADES ...Entrainez-vous

voici des exo olumpiades:

1/




2/




3/



4/

salut
pour la 3éme exo
on a
a^6 >= 5 <==> a^6 + 1 >= 6
et on sait que
a^6 + 1 = (a^2 + 1)(a^4 - a^2 + 1)
= a (a+1/a)(a^4 - a^2 + 1)
= (a+1/a)(a^5 - a^3 + a) >= 3*2 = 6

pour la 4éme exo
on sait que
(a+b+c)² = a²+b²+c²+2(ab+bc+ca)
= 1 +2(ab+bc+ca) >=0
donc
(ab+bc+ca) >= -1/2
d'une autre part
on sait que
(a+b)² >= 0
(c+b)² >= 0
(a+c)² >= 0
donc
(a+b)² + (c+b)² + (a+c)² >= 0
2 (a²+b²+c²) >= 2 (ab+bc+ca)
donc
(a²+b²+c²) >= (ab+bc+ca)
alors
1 >= (ab+bc+ca)

pour la 2éme exo :
S=(x,2x+1),(x,2x-4)

pr le 2 ème
xy+2x-y=3
2x^2y-xy^2= -4
on factorise : xy(2x-y)= -4
posons a = xy, b = 2x-y
le système devient : a+b=3 ; ab = -4
les solutions sont (-1;4 ) et (4;-1)
donc : on obtient deux systèmes : xy=-1 et 2x-y=4 (n'admet pas de solutions )
ou xy=4 et x-2y=-1
après calcul, on conclut S

1)On essaye d'écrire (a²+1)(b²+1)(c²+1) sous forme d'un carré.

(a²+1)(b²+1)(c²+1)=1+a²+b²+c²+(ab)²+(bc)²+(ac)²+(abc)²

ab+bc+ac=1 => a²+b²+c²=(a+b+c)²-2 et (ab)²+(bc)²+(ac)²=-2abc(a+b+c)+1

En remplaçant dans la première égalité :
(a²+1)(b²+1)(c²+1)=1+[(a+b+c)²-2]+[1-2abc(a+b+c)]+(abc)²
=(a+b+c)²-2abc(a+b+c)+(abc)²=(a+b+c-abc)²

On conclut.

milor18 a écrit:

pr le 2 ème
xy+2x-y=3
2x^2y-xy^2= -4
on factorise : xy(2x-y)= -4
posons a = xy, b = 2x-y
le système devient : a+b=3 ; ab = -4
les solutions sont (-1;4 ) et (4;-1)
donc : on obtient deux systèmes : xy=-1 et 2x-y=4 (n'admet pas de solutions )
ou xy=4 et x-2y=-1
après calcul, on conclut S

c'est une bonne méthode ...
mais est-ce-qu'on peut résoudre les systémes avec ma méthode ???
S=(x,2x+1),(x,2x-4)

si ce que tu donnes est l'ensemble de solutions de ce système, on peut remplacer x par n'importe quelle valeur et obtenir une solution, ce qui n'est pas vérifié, il faut donner des solutions

oui ; t'as raison ...
alors quels sont les cas que nous résolvons les systéme avec un ensemble de solution comme j'ai fait ..
car qlq fois dans les exercices on trouve qu'ils ont utilisé cette méthode ...
et merci pour l'explication ..

si j'ai une equation à deux inconnus, je peux ecrire x en fonction de y ou le contraire, par exemple
mais si j'ai un système de n equations à n inconnues je peux trouver les valeurs.
sinon, je peux ecrire l'ensemble de solutions comme t'as fait si x est un paramètre
avec plaisir !!

merci les amis pour vos reponses ...